Produit scalaire

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3 2.1 Définition 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 3 4 4 2.2 Torseurs élémentaires 2.2.1 Torseur couple 2.2.2 Torseur glisseur 4 4 4 2.3 Les torseurs de la mécanique du solide parfait 2.3.1 Torseur des efforts extérieurs 2.3.2 Torseur cinématique 2.3.3 Torseur cinétique 2.3.4 Torseur dynamique 4 4 5 5 5 3 6 CINEMATIQUE 3.1 Introduction

dans des lignes ou des colonnes? Comme vous pourriez deviner, ils sont le résultat d’une multiplication matricielle. Aller de C à B dans 2 livraisons est identique à prendre que le produit scalaire de la ligne 2 et colonne 3 de la matrice T. Aller de B à B dans 2 livraisons est identique à prendre que le produit scalaire de la ligne 2 et colonne 2 de la matrice T. Si vous multipliez T par elle-même, vous obtiendrez les mêmes réponses qui vous avez obtenu pour ces deux questions et le reste de la matrice

= M ( x y∗ ) = lim M T ( x y∗ ) T→∞ (3) I.E.1) Si E est un espace vectoriel inclus dans M 2 , montrer que deux fonc2 2 tions x, y ∈ E sont comparables (développer x + y et x + iy ). Il en résulte que sur E , ( x, y ) a est un « pseudo-produit scalaire » (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier M x+ y 2 = M x + M y + 2 Re 2 2 (4) I.E.2) On dira que deux fonctions x, y ∈ 2 Que vaut alors M x + y ? I.E.3) M2 ,

le point O r r r • D’une base de l’espace : ( x , y, z ) 3 Produit scalaire de vecteurs Le produit scalaire de deux vecteurs est comme son nom l’indique un produit de deux vecteurs donnant un scalaire. Il est définit de la façon suivante : r r r r r r U .V = U × V × cos U ,V r Il est donc nul si les deux vecteurs sont orthogonaux. U ( ) Remarque importante : r r Si le vecteur V est unitaire (de norme 1) alors le V produit scalaire correspond à la projection r orthogonale de U sur la droite

racine double z0 et on peut le factoriser comme suit : o P (z) = a(z − z0 )2 . Si ∆ < 0 et si a, b et c sont des nombres r´els, alors les racines z1 et z2 sont conjugu´es et la factorisation e e est alors : P (z) = a(z − z1 )(z − z1 ). c Somme et produit des racines : z1 + z2 = −b et z1 z2 = a . a 3.3 1. 2. 3. 4. 5. 6. Transformations ponctuelles du plan → translation de vecteur − , d’affixe a : z ′ = z + a. u Rotation de centre O et d’angle α : z ′ = zeiα . Rotation de centre z0 et d’angle

a :  si AB  CD  alors A' B'  C' D' (on dit une isométrie conserve le produit scalaire). A' B'  A' C'  AB  AC (3) Soient A, B, C, D, E et F six points du plan et A' , B' , C' , D' , E' et F' leurs images respectifs par une isométrie du plan et soient a et b deux réels. si EF  a AB  b CD alors E' F'  a A' B'  b C' D' 3) Conséquences : Th 1 : Toute application f :P  P qui conserve le produit scalaire est une isométrie du plan.  Th 2 : Toute isométrie conserve l’alignement.

applications de E vers F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 12. Déterminants 8 8 9 9 9 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. Ordre 2 et 3 . . . . . . . . . . Matrice triangulaire . . . . . . Ordre quelconque . . . . . . . Déterminant d’un produit . . Matrice triangulaire par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 23 23 23 23 3. Structure de Groupe 3.1. 3.2. 3.3. Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 27 27 28 29 29 29 II Géométrie : produit scalaire et applications 6 Angles orientés 6.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Mesures de l’angle orienté

Suites numériques………………………………………………...….22 Chapitre VI : Statistiques et probabilités………………………………………..…26 Chapitre VII : Vecteurs et barycentres………………………………….…….……32 Chapitre VIII : Angles orientés - Trigonométrie…………………………………..36 Chapitre IX : Produit scalaire dans le plan………………………………………...40 Chapitre X : Géométrie dans l’espace………………………………………….….44 Chapitre XI : Transformations du plan et de l’espace……………………….…….48 Partie B : EXERCICES………………………………………….….51 Chapitre I : Equations et inéquations

"nombre de cas favorables" = En cas d'équiprobabilité P(A) = nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles" ! Proba de B sachant A : PA (B) = ! P(A " B) ; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B) P(A) TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE ! Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2