Produit scalaire

Inégalité de Poincaré en 1D : Soit a, b ∈ R, soit u ∈ C 0 [a, b] C 1 ]a, b[ et u(a) = 0. Montrer qu’il existe C > 0 : u 0 ≤ C |u| 1 Ex. 12 — Soit Ω un domaine borné et régulier de Rd . On muni H01 (Ω) du produit scalaire << u, v >>1 =< ∇u, ∇v >. 1. Vérifier que H01 (Ω) muni de ce produit scalaire est un espace vectoriel préhilbertien normé. 2. Montrer que toute suite de Cauchy de H01 (Ω) est convergente dans H01 (Ω). En déduire que c’est un espace d’Hilbert. Ex. 13 — Traces,γ0 , H1 (Ω) : On considère

graphiquee e e ment, elle repr´sente la longueur entre les deux extr´mit´s de celui-ci. e e e → − Une grandeur nomm´e A est repr´sent´e par un vecteur symbolis´ par la grandeur surmont´e d’une fl`che : A . e e e e e e → − → − Le module de ce vecteur est un scalaire positif et son symbole est A , A ou A. w w w .M 1.2.1 D´finition e at 1.2 NOTION DE VECTEUR h Extrémité Sens Axe de référence M u le od θ Origine Direction ou support Figure 1.1 Représentation géométrique d'un vecteur

PSI∗ Lycée Jean Perrin Colles maths du 13 décembre Espaces préhilbertiens réels et euclidiens Révisions suites et séries de fonctions E est un R-espace vectoriel 1 Produit scalaire 1.1 Formes bilinéaires symétriques 1.1.1 Dénition Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques 1.1.2 Formes bilinéaires positives Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo)

et alors : Dans l'espace, si le vecteur a pour coordonnées Si les points et alors : , sa norme s'écrit : ont pour coordonnées respectives 2 et 2 dist(AB)=AB=||AB||=(Xb-Xa) +(Yb-Ya) +(Zb-Za) 2 1.2 PRODUITS SCALAIRES Le produit scalaire des vecteurs u (x ; y ) et v (x ; y ) est u.v=(x ; y ).(x ; y )= x . X 1 + y1. y2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 Propriétés : Quels que soient les vecteurs u, v et w et le réel r, on a : • u.v=v.u (commutativité)

de corps commutatif). Les operations sur les matrices Matlab contient de nombreuses expressions prédéfinies pour la manipulation de matrices. Le caractère spécial (') sert `a désigner la transposée d’un matrice. La commande A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]' produit la matrice A = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 Les lignes de A' sont les colonnes de A, et vice versa. Si A est une matrice complexe, A' est sa transposée conjuguée, ou transposée hermitienne. Pour obtenir une transposée non conjuguée, il faut employer les

l’ensemble des points M de l’espace tels que l’on ait : u=22 Consigne 4 On considère quatre points fixes A, B, C, D. Détermine l’ensemble des points M tels que MA-2MB+4MC=3MD . Séquence 3 : Le produit scalaire Activité 6 L’ouvrier Sonon avait conservé dans sa maison de vieilles feuilles de papier sur lesquelles, certaines esquisses du chef d’œuvre de l’ingénieur PIKO avaient été représentées. L’une des esquisses est la suivante : Q H G

. . . . Révision 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 4.1 : Les caractéristiques d’un vecteur . . . . . . Section 4.2 : Les opérations sur les vecteurs . . . . . . . Section 4.3 : Combinaison linéaire et produit scalaire Chronique du passé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Banque de problèmes . . . . . .

matrice U ∈ O 3 ( ! ) et calculer cette matrice. II. Calcul de la distance de A à S n ( ! ) et à An ( ! ) 3. Soit A et B deux matrices de Mn ( ! ) , on pose (A B) = Tr (tA B) . Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur Mn ( ! ) . La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée : A = ( (A A) )2 . Dans tout le sujet, si Π est une partie non vide de Mn ( ! ) , la distance d’une matrice A de 1 Mn ( ! ) à la partie Π est le réel d ( A, Π ) = inf A − M . M ∈Π

du tétraèdre). (Médiane du tétraèdre : droite passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée.) 1 2. Produit scalaire du plan et conséquences. 2.1. Rappel sur le produit scalaire dans le plan. ! " ! !" " ! ! " ! " ! " Définition propriété : u et v sont deux vecteurs de P . v ' est le projeté orthogonal de v sur u . ! " ! " On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le nombre réel égal. ! " !" ! ! " !" ! # u ! v ' si u et v ' sont de même sens % ! " !" ! ! " !" ! 1. $

......................................... 8 PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL ......................................................................................... 8 Détermination d’un vecteur............................................................................................................. 8 Produit scalaire et norme d’un vecteur........................................................................................... 9 Produit vectoriel...................................