Produit scalaire

DS1 Suites Produit scalaire Terminale S3 02/10/2012 Exercice 1 1. Soit [pic]un réel strictement positif. Démontrer que, pour tout entier [pic], [pic] 2. Montrer que pour tout réel [pic] [pic]. Exercice 2 La suite [pic]est définie pour tout entier naturel [pic]par [pic] 1. Montrer que pour tout entier naturel [pic], [pic] 2. Quel est le comportement de la suite [pic]en [pic] ? Exercice 3 La suite [pic]est définie par [pic]. 1. Montrer que pour tout entier naturel

calaire dans l'espace Correction du DM Ch4 : Géométrie - Produit scalaire dans l’espace Exercice 1 (6 points) [pic] 1) a) Calculer les produit scalaires : [pic] et [pic]. Par Chasles [pic] (AD) est perpendiculaire au plan (CDH) d’où (AD) est perpendiculaire à (CH) et[pic] Par projection orthogonale de [pic]sur (DH) : [pic]. Par projec. orthogonale de [pic]sur (HG):[pic]= –1 Finalement [pic]= 0. (0,75 pt) De même [pic]= [pic] =[pic] (0,75 pt)

diamètre du cercle Sylvain MATON – ORAL 2 – 14 novembre - Thème: Géométrie au collège 6/14 circonscrit, et de sa réciproque (4ème) Niveau lycée : • par la géométrie analytique en introduisant un repère orthonormé (2nde) • par les vecteurs et le produit scalaire (1ère S) • par les homothéties (BTS) Voici 3 corrigés possibles : 1 niveau 4ème, 1 niveau 1ère S et 1 niveau BTS. Dans les 3 démonstrations suivantes, on pourra utiliser ce préliminaire : AECF est un parallélogramme car AE= CF et (AE) parallèle

rectiligne : 1) Définition : a. Une force est dite constante lorsque sa valeur, son sens et sa direction ne varient pas au cours du temps. b. Le travail d’une force constante F pour un déplacement rectiligne AB de son point d’application est le produit scalaire de F par AB . Il est noté : WAB( F ) : travail exprimé en Joules (J). F : valeur de la force en Newton (N). AB : longueur du déplacement (m) α : angle entre F et AB (° ou rad) WAB( F ) = F . AB = F*AB*cos α Exercices n°5,8 et 11 p103 2)

(x )  x Sur ℝ ou C : N (x )  x Prop :  x, y  E 2 , N x  N y  N x  y         Prop : Si x , x x , y est un produit scalaire sur E , on définit la norme associée par x Ex : Soit E  ℝ2 , et pour tout x  a , b , N x  a 2  2ab  5b2 , montrer que N définit     une norme sur E

Séquence 10 Géométrie dans l’espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l’espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l’espace 5. Droites et plans de l’espace 6. Synthèse Dans cette séquence, il s’agit d’une part de renforcer la vision dans l’espace et d’autre part de donner tous les outils algébriques et géométriques permettant de traiter les problèmes d’intersections de droites et de plans. Séquence 10 – MA02 1 © Cned - Académie en ligne 1 Prérequis A Géométrie plane 1

d'éléments de A "nombre de cas favorables" = En cas d'équiprobabilité P(A) = nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles" ! Proba de B sachant A : PA (B) = ! P(A " B) ; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B) P(A) TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE ! Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2 a –1 = 1 – 2sin2 a Valeurs remarquables 0 sin cos tan 0 sin(2a) = 2sin a cos a cos(a-b)

vecteurs, c'est la somme du premier et de l'opposé du second. Produit ou quotient d'un vecteur par un nombre Le produit ou le quotient d'un vecteur par un nombre est un vecteur de même direction et de longueur multipliée ou divisée par ce nombre. Si le nombre est négatif on change le sens du vecteur. Il est également possible de multiplier deux vecteurs entre eux: c'est le produit scalaire que nous verrons en première. Par contre il n'est pas possible de diviser deux

2xy + 2y 2 1. D´montrer que ϕ d´finie sur R2 × R2 ` valeurs dans R par : e e a ϕ : ((x, y), (x , y )) → xx + xy + x y + 2yy . est un produit scalaire sur R2 . → → Notations : les vecteurs de R2 , − = (x, y) et − = (x , y ) ´tant donn´s, on u u e e → → − ,− . ´crira : ϕ((x, y), (x , y )) = u u e → → 2. Construire une base B = (− , − ), orthonorm´e pour le produit scalaire ϕ, e1 e2 e → − = (1, 0). contenant le vecteur e1 On demande, de plus, de choisir e2 = (γ, δ), avec δ > 0. ´ Ecrire les formules de

étudier dans les paragraphes ci-dessous une grandeur physique qui caractérise les effets d'une force: le travail. 2. Définition On appelle travail d'une force constante [pic], lors d'un déplacement rectiligne de son point d'application, le produit scalaire de la force [pic]par le déplacement [pic]. On le note WAB([pic]).   |[pic] | |  |  |  |  | |Avec