Tangente

en lesquels la tangente (D) est parallèle à la droite d’équation (b) Placer ces points sur le graphique donné en annexe ainsi que les tangentes en ces points Exercice 4 1. On cherche à déterminer une fonction f polynome du troisième degré sachant que sa courbe dans un repère orthonormal vérifie les deux conditions suivantes : (a) passe par O et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -2. en son point d’abscisse 1 est parallèle à la droite d’équation 1/2 (b) La tangente à Marilyn Zago

u'v+v'u (2 formules différentes a multiplier entre elles) (u/v)'=u'v-uv'/v au carré (1/v)'= - v'/v au carré 3)Calcul de l'équation de la tangente Si f est dérivable en a dans un repère, la tangente T à la courbe représentative C de f en a est la droite qui a pour coefficient directeur f' (a) et qui passe par le point de coordonnées (a; f(a)). La tangente en a à f a pour équation y = f(a) + f'(a)(x-a). 4) SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION Si pour tout x appartient à I , f est croissante

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant le réel x . Le nombre dérivé de f en x , s’il existe, est le nombre  [pic] Ce nombre est noté [pic] Le calcul de limite en un point revient graphiquement à rechercher la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point. [pic] représente donc la pente de la droite passant par [pic] et [pic]. N’oublions pas que [pic] tend vers [pic] Fonction dérivée : Si [pic] est dérivable en tout point de[pic], alors

2x 2  6x  4 x2 2. Tangentes au graphe d'une fonction. 2.1 Tangente en un point donné du graphe d'une fonction Soit à déterminer l'équation de la tangente au graphe de f2 (x) = 3x  5 au point d'abscisse 2. 1  2x 65 1   nous avons la coordonnée complète d'un point de cette droite. 1 4 3 7 Dans l'étude de la fonction, nous avons déterminé la dérivée f ' (x) = (1  2 x) 2 7 7  La pente de la tangente sera donc : f ' (2) = 2 9 (1  4) 1 7 L'équation de la tangente se détermine alors facilement

dérivable en a . On appelle C la représentation graphique de f dans un repère. La courbe C admet une tangente au point d'abscisse a et f '(a) est le coefficient directeur de cette tangente. Une équation de la tangente au point d'abscisse a est y = f '(a)(x – a)+ f (a). Exemple Soit f la fonction définie par f(x) = x² – 2. Cette fonction est dérivable en 2 et f '(2) = 4. L'équation de la tangente en 2 est y = f '(2)(x – 2) + f(2) soit y = 4(x – 2) + 2 soit y = 4x – 6. La fonction est une

permanent l'intensité du courant est constante et maximale. On trace l'asymptote horizontale à la courbe i = f(t). Cette asymptote a pour équation I = 6,0 mA 1.2.2. τ = 0,1 ms La constante de temps correspond à l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à la courbe à l’origine et l’asymptote correspondant à i = I. i (mA) 8,0 7,0 I = 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0,0 τ 1.2.3. Valeur théorique : τ = τ= L R graphe 1 i(t) 0,5 1,0 1,5 t (ms) 0,10 = 0,10×10–3 s = 0,10 ms La valeur

de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t ) pour t ∈ ℝ ∗ . A l’aide d’une intégration par parties, montrer que : ∀t ∈ ℝ ∗ , ∫ En déduire le sens de variation de f . 1.f Tracer la courbe représentative de f dans un repère

−x2 − 1 dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu’il existe une unique tangente T commune à ces deux courbes. 1. Sur le graphique représenté dans l’annexe 1, tracer approximativement une telle tangente à l’aide d’une règle. Lire graphiquement l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1 ) et l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C2 ). 2. On désigne par a et b deux réels quelconques, par A le point d’abscisse a de la

7,7 f(x) e) Calculer f ’(4). Donner une équation de la tangente (T) à la courbe représentative de f au point d’abscisse 4. 4 f (4) = 2 – = 1 4 L' équation de la tangente à une courbe en un point d' abscisse x0 est : y = f ' 0) (x – x0) + f (x0) (x Ici x0 = 4, donc y = f ' (x – 4) + f (4) (4) y = 1 x (x – 4) + 2,5 y = x – 4 + 2,5 y = x – 1,5 (O, i, j ) d’unité graphique 2 cm. f) Tracer la courbe (C) et la tangente (T) dans un plan rapporté à un repère orthonormal G:\MATHS

suivant le signe de . Le tableau est le suivant : Equation de la tangente : Souvent, dans les exercices, on te demandera de donner l'équation de la tangente à la fonction f en un point x = a, c'est à dire de donner l'équation de la droite rouge, qui touche la courbe de f au point d'abscisse x = a. La droite rouge est une droite, son équation s'écrit donc . D'après le cours sur les dérivées, le coefficient directeur de la tangente en un point est égal à la dérivée de f en ce point. Donc l'équation