Cours dénombrement

Pages: 23 (5730 mots) Publié le: 15 mars 2013
Prof : Baklouti Hédi Cours : « Dénombrement » Avril 12

I / 1/Notation factorielle 
Définition 
Soit[pic], on note par n ! et on lit factorielle n l’entier strictement positif .
[pic].
Ex : [pic] ;[pic] ; [pic]  etc…
On convient de noter[pic].
[pic], [pic]
[pic]
[pic][pic].
2/Notation [pic] :
Définition 
Soit [pic] et [pic] ; 1[pic], on pose par définition :
[pic][pic] p facteurs .
[pic] et [pic] .
Théorème

|[pic] et [pic] ; [pic]. |

3/Notation [pic] 
Définition 
Soit [pic] et [pic] / [pic]
On pose par définition : [pic]
Exemple 
[pic] , [pic] , [pic] , [pic]
Théorème 

|[pic]et [pic] ; [pic] ou bien [pic] . |

4/Cardinal d’un ensemble fini 
Définition 
Soit E un ensemble fini contenant n éléments avec[pic], l’entier naturel non nul n s’appelle cardinal de E .
On note[pic].
On convient de poser[pic].
Propriétés 
Soit E et F deux ensembles finis :
1) Si [pic] , [pic]
2) D’une façon générale [pic] .5/Notion de p-uplet 
a)Produit cartésien :
Soit E et F deux ensembles finis.
On pose par définition [pic] (on lit E croix F)
Si [pic] . On note [pic] .

Exemple 
On lance une pièce de monnaie et un dé cubique, un résultat possible est un couple (a,b) avec [pic]
et [pic].
L’ensemble des résultats possibles est :
[pic].
Quand on lance le dé deux fois de suite un résultat possible est uncouple [pic]
b)Généralisation :
Soit [pic] ; p ensembles finis [pic]
On pose par définition :
[pic] avec [pic]
Les éléments de [pic] s’appellent des p-uplets.
[pic] s’appelle un p-uplet .

Cas particulier 
[pic] alors [pic]
Si p = 2 alors [pic] s’appelle un couple .
Si p = 3 alors [pic] s’appelle un triplet .
si p = 4 alors [pic] s’appelle un quadruplet etc …
Exemple
Quand on tired’une urne 4 boules successivement avec remise alors : un résultat possible est un quadruplet (a,b,c,d) [pic] ou E est l’ensemble des boules contenues dans l’urne .

Exercice
Déterminer le nombre de résultats possibles quand on lance un dé cubique deux fois de suite.

Théorème

|Soit E un ensemble de cardinal [pic] |
|Le nombre de p –uplets d’éléments de E est [pic] |

Remarque [pic]

6/Notion d’arrangement 
Définition 
Soit E un ensemble de cardinal [pic] et p un entier naturel /[pic].
On appelle arrangement de p éléments de E, tout p-uplet d’éléments de E distincts 2 à 2.

Théorème

|Soit [pic];[pic] ; le nombre d’arrangement de p-éléments d’un ensemble contenant néléments est[pic] |

Exemple 
Un résultat possible d’un tirage de 4 boules successivement et sans remise d’une urnes contenant 6 boules
et un arrangement de 4 éléments parmi 6 .

7/Notion de permutation 
Définition 
Soit E un ensemble de cardinal [pic], on appelle permutation de E tout arrangement de tous les éléments
de E .

Théorème|Soit [pic], le nombre de permutation des éléments de E de cardinal n est égal à [pic] |

8/Notion de combinaison 
Définition 
Soit E un ensemble de cardinal [pic] et soit [pic].
On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E contenant p éléments.
Exemple
Un résultat possible d’un tirage de 4 boules simultanémentd’une urne contenant 6 boules est une combinaison
de 4 éléments parmi 6.
Théorème

|Soit [pic] et [pic] ; le nombre de combinaison de p éléments de E de cardinal n est égal à [pic] |

Dém :
[pic]Si p = 0 , il y a une seule partie de E ne contenant aucun éléments. C’est l’ensemble [pic] ; [pic]
[pic] si [pic], le nombre d’arrangement...
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