3ème Maths : M2 Durée : 2heures Date : le 13 / 12 / 2008 Coefficient : 4

Devoir de Synthèse N°1 Mathématiques
Lycée secondaire Teboulba prof : Ghaddab Lassad

Exercice 1 : ( 4 points) (1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,75 + 0,75)
Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f dans un repère orthonormé

(O, i, j ) d’une fonction f définie sur IR. On sait que :

− La droite ∆ d’équation y = 2 x + 4 est asymptote à la courbe C f en + ∞ . − La courbe C f admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses aux points B(− 3,2) et C (− 1,−2 ) . − La droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe C f en − ∞ .

− La courbe C f admet une demi tangente T et une demi tangente verticale au point A(− 4,−2 ) .

7

∆

ζ
T

f

B
−4 −1

2

j
O i

−3

A

C

−2

4) Soit g la fonction définie sur IR par g ( x ) = x 2 f ( x ) .

À partir du graphique et des renseignements fournis : f (x ) et lim [ f ( x ) − 2 x ] ; . 1) Déterminer lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim x → +∞ x → −∞ x → +∞ x x → +∞ 2) Déterminer f ' (− 1) et f ' (− 3) . 3) a – Déterminer f d ' (− 4) . b – f est elle dérivable à gauche en − 4 ? Justifier. f ( x ) − f (− 4) c – Déterminer lim . x+4 x → (− 4 )−

g ( x ) − g (− 1) = 4. x → −1 x +1 b – Donner alors une équation cartésienne de la tangente à la courbe de g au point d’abscisse − 1 . a – Montrer que lim
1

Exercice 2 : ( 8 points) (I − 0,5 + 0,75 + 0,75 + 0,5 + 0,5)

(II − 0,5 + 0,75 + 0,75 + 1 + 1 + 1)

I – Soit la fonction h définie sur ]− ∞,−4] ∪ [0,+∞[ par h(x ) = x 2 + 4 x + x + 2 .
Ch sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, i, j .
1) Calculer lim h( x ) . 2) Déterminer lim h( x ) . Interpréter graphiquement le résultat. x → −∞ x → +∞

(

)

3) a – Montrer que pour tout x ∈ ]0;+∞[ on a h( x ) − 2 x =

8−

. 4 2 1+ +1− x x b – En déduire que la courbe Ch admet une asymptote ∆ d’équation y = 2 x + 4 . c – Pour x ∈ ]0;+∞[ , comparer de Ch et ∆ .

4 x

x 2 + 4 x