Etude d’une fonction
1. 1.a 1.b Soit f l’application de ℝ ∗ dans ℝ définie par : ∀t ≠ 0, f (t ) = Justifier que f est continue et paire. Former le développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t ) pour t ∈ ℝ ∗ . A l’aide d’une intégration par parties, montrer que : ∀t ∈ ℝ ∗ , ∫ En déduire le sens de variation de f . 1.f Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (unité : 2 cm) (on ne demande pas l’étude des points d’inflexion) Soit φ l’application de ℝ ∗ dans ℝ définie par ∀x ≠ 0, φ(x ) = Former le développement limité à l’ordre 2 en 0 de φ . Par quelle valeur peut-on prolonger φ par continuité en 0 ? Désormais φ désigne la fonction obtenue par ce prolongement. t 0

arctan t . t

1.c 1.d 1.e

w2 1 dw = − t 2 f ′(t ) . (1 + w 2 )2 2

2. 2.a

1 x f (t )dt . x ∫0

2.b 2.c 2.d 2.e 2.f 3. 3.a 3.b

1 Montrer que φ est paire, dérivable sur ℝ avec φ ′(0) = 0 et ∀x ∈ ℝ ∗ , φ ′(x ) = ( f (x ) − φ(x )) . x
Montrer que ∀x ∈ ℝ , f (x ) ≤ φ(x ) ≤ 1 (on pourra commencer par supposer x > 0 ). En déduire les variations de φ .

1 x f (t )dt = 0 . En déduire que lim φ(x ) = 0 . x →+∞ x ∫1 x →+∞ Tracer la courbe représentative de φ dans le même repère que celle de f .
Montrer que lim Soit (un ) la suite définie par u 0 ∈ ℝ et pour tout n de ℕ , un +1 = φ(un ) , où φ est l’application du 2. Montrer que : ∀t ≥ 0,0 ≤

t 1 ≤ . 1+ t 2 2

1 1 Montrer que, pour tout x strictement positif : φ ′(x ) ≤ (1− f (x )) = 2 x x (on pourra utiliser 2.b et 2c.)
En déduire que, pour tout x strictement positif : φ ′(x ) ≤

∫

x 0

t2 dt 1+ t 2

3.c

1 , et que cette inégalité reste vérifiée pour tout 4

x de ℝ .
3.d Montrer que l’équation : x ∈ ℝ , φ(x ) = x admet une unique