Les nombres complexes

3355 mots 14 pages
NOMBRES COMPLEXES
1. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants : z1 = 1 + i , z 2 = 1 − i 2. √ , z3 = 1 + i 3 √ 1+i 3 , z4 = . 1−i

Calculer les nombres complexes suivants : w1 = (1 + i)
21

,

w2 =

√ 1+i 3 1−i

20

. 1 + ix . 1 − ix 1 + ix , avec 1 − ix

3.

a) Soit x ∈ R. D´terminer le module du nombre complexe w = e

b) Montrer que tout nombre complexe de module 1, diff´rent de −1, peut s’´crire e e x ∈ R. c) V´rifier que −1, ix, et e 4.

1 + ix ont des images align´es. Interpr´tation g´om´trique? e e e e 1 − ix z−i . z+i

Soit z un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive. Soit w = √ D´terminer les nombres entiers n tels que ( 3 + i)n ∈ R. e D´terminer z ∈ C pour que les nombres z, e 1 1 − z aient le mˆme module. e z

Montrer que |w| < 1. Interpr´tation g´om´trique ? e e e 5. 6. 7. 8.

Comment faut-il choisir z pour que les images de z, z 2 , z 4 soient align´es? e Soit u et v deux nombres complexes. Montrer que : |u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ) .

Interpr´tation g´om´trique ? e e e 9. R´soudre dans C les ´quations suivantes : e e a) z 2 = −11 10. 11. 12. , b) z 2 = −1 + 3i , c) z 2 = 9 + 5i .

R´soudre dans C l’´quation : z 2 − z + 7 = 0. e e R´soudre dans C l’´quation : z 2 − (5 − 14i)z − 24 − 10i = 0. e e Soit ω un nombre complexe quelconque. R´soudre l’´quation : e e z 2 − (2 + iω)z + 2 + iω − ω = 0 .

13.

R´soudre dans C les ´quations suivantes : e e a) z 3 + 1 = 0 , b) z 4 − i = 0 , c) z 8 + 1 = 0 . 1

14. Trouver une condition sur le param`tre complexe a pour que l’´quation z + z 2 = a e e ¯ admette une solution r´elle. Lorsque cette condition est satisfaite, r´soudre l’´quation. e e e 15. 16. Exprimer sin 5θ en fonction de sin θ. a) Montrer qu’il existe des constantes A et B (que l’on d´terminera) telles que e cos3 θ = A cos 3θ + B cos θ . b) Montrer qu’il existe des constantes A, B et C (que l’on d´terminera) telles que e sin4 θ = A cos 4θ + B cos 2θ + C . 17. Pour θ =

en relation

  • dm math
    1669 mots | 7 pages
  • Composistion Du Premier Semestre 1ere S2
    387 mots | 2 pages
  • L2 mass
    700 mots | 3 pages
  • Math
    1329 mots | 6 pages
  • Dm3 terminale s
    355 mots | 2 pages
  • Chapitre 6 term s
    1119 mots | 5 pages
  • Corrigé d'analyse sMP
    4141 mots | 17 pages
  • Annal correction de la polynésie en juin 2011
    2840 mots | 12 pages
  • Maths
    474 mots | 2 pages
  • Devoir de mathématiques
    465 mots | 2 pages
  • Annabac
    2191 mots | 9 pages
  • Oh yeah !
    454 mots | 2 pages
  • Annales concours
    1596 mots | 7 pages
  • Physique
    541 mots | 3 pages
  • Popul
    323 mots | 2 pages