Les nombres complexes
1. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants : z1 = 1 + i , z 2 = 1 − i 2. √ , z3 = 1 + i 3 √ 1+i 3 , z4 = . 1−i
Calculer les nombres complexes suivants : w1 = (1 + i)
21
,
w2 =
√ 1+i 3 1−i
20
. 1 + ix . 1 − ix 1 + ix , avec 1 − ix
3.
a) Soit x ∈ R. D´terminer le module du nombre complexe w = e
b) Montrer que tout nombre complexe de module 1, diff´rent de −1, peut s’´crire e e x ∈ R. c) V´rifier que −1, ix, et e 4.
1 + ix ont des images align´es. Interpr´tation g´om´trique? e e e e 1 − ix z−i . z+i
Soit z un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive. Soit w = √ D´terminer les nombres entiers n tels que ( 3 + i)n ∈ R. e D´terminer z ∈ C pour que les nombres z, e 1 1 − z aient le mˆme module. e z
Montrer que |w| < 1. Interpr´tation g´om´trique ? e e e 5. 6. 7. 8.
Comment faut-il choisir z pour que les images de z, z 2 , z 4 soient align´es? e Soit u et v deux nombres complexes. Montrer que : |u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ) .
Interpr´tation g´om´trique ? e e e 9. R´soudre dans C les ´quations suivantes : e e a) z 2 = −11 10. 11. 12. , b) z 2 = −1 + 3i , c) z 2 = 9 + 5i .
R´soudre dans C l’´quation : z 2 − z + 7 = 0. e e R´soudre dans C l’´quation : z 2 − (5 − 14i)z − 24 − 10i = 0. e e Soit ω un nombre complexe quelconque. R´soudre l’´quation : e e z 2 − (2 + iω)z + 2 + iω − ω = 0 .
13.
R´soudre dans C les ´quations suivantes : e e a) z 3 + 1 = 0 , b) z 4 − i = 0 , c) z 8 + 1 = 0 . 1
14. Trouver une condition sur le param`tre complexe a pour que l’´quation z + z 2 = a e e ¯ admette une solution r´elle. Lorsque cette condition est satisfaite, r´soudre l’´quation. e e e 15. 16. Exprimer sin 5θ en fonction de sin θ. a) Montrer qu’il existe des constantes A et B (que l’on d´terminera) telles que e cos3 θ = A cos 3θ + B cos θ . b) Montrer qu’il existe des constantes A, B et C (que l’on d´terminera) telles que e sin4 θ = A cos 4θ + B cos 2θ + C . 17. Pour θ =