Université de Nice Sophia-Antipolis Année Universitaire 2011/2012
L2M Statistique
TD de Statistique
Correction TD no 3.
Exercice 1 : On utilisera le lemme suivant
1 Lemme Soit X une variable aléatoire continue telle que sa fonction de répartition F est dérivable sauf aux points x1, . . . , xn. Alors une densité f de X est dé�nie par f(x) = F ′(x) pour tout x ∈ R \ {x1, . . . , xn} et f(xi) vaut une valeur arbitraire positive.
De plus en tout point x où f est continue, F est dérivable en x et véri�e …afficher plus de contenu…

Soit FZ la fonction de répartition de Z dé�nie pour t ∈ R par FZ(t) = P(Z ≤ t) = P(|X| ≤ t). Pour tout t < 0, FZ(t) = 0 car |X| est une variable aléatoire positive (P(|X| ≥ 0) = 1 = 1− FZ(0) , donc FZ(0) = 0 et par croissance et positivité de FZ , FZ(t) = 0 pour t < 0). De plus, pour t ≥ 0,
FZ(t) = P(−t ≤ X ≤ t) = F (t)− F (−t).
On peut donc prendre une densité fZ de Z par fZ(t) =
{
0 si t < 0 f(t) + f(−t) si t ≥ 0.
43. De même, notons FT la fonction de répartition de T . Alors, pour tout t ∈ R,
FT (t) = P(T ≤ t) = P(|X| ≤ et) = F (et)− F (−et). et on peut prendre comme densité la fonction fT dé�nie sur R par fT (t) = etf(et) + etf(−et), ∀t ∈ R
4. La fonction F est continue et strictement croissante (car sa dérivée est strictement positive). Par …afficher plus de contenu…

On sait, puisque la fonction x 7→ P(Y > x) est une fonction bijective de R dans ]0, 1[ (car continue, strictement décroissante) que l'équation P (Y > x) = 0.05 admet une unique solution. D'après la table, pour x = 1.65,
P(Y > x) ≤ 0.05 et P(Y > x) ' 0.05. On cherche donc n ∈ N? le plus grand possible tel que qn ≥ 1.65.
L'équation qx = 1.65 admet dans R la solution x = 481.89. On prend donc n = 481.
On peut donc accepter jusqu'à 481 réservations.
Exercice 10:
Rappelons le Théorème Central Limite:
3 Lemme Soit Y une variable aléatoire suivant une loi normale N (0, 1). Soit (Xi)i≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi tel que E(X2
1 ) existe. Notons m = E(X1) , σ2 = varX1 et X̄n =
1
n