Absolue continuité

I. Taux d'accroissement Activité 1 : Un point mobile M se déplace sur un axe. La distance parcourue par ce point à l'instant t est donnée par d (t)=t 2 . L'origine est t 0=0 . a) Calculer la vitesse moyenne du point M entre les instants 1 et 2 ; 2 et 3 ; 2 et 2,1 ; 1,9 et 2. b) Comment pourrait-on définir une vitesse instantanée à l'instant t=2 ? Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h des réels de I, h≠0 . f (a+ h)− f (a) Le taux d'accroissement de f ente a et a+h

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES C ORRECTION DU BAC BLANC FÉVRIER 2009 Exercice 1 C ANDIDATS N ’ AYANT PAS SUIVI L’ ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 5 points On considère la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = ex − ln x → − → − et sa courbe représentative C dans un plan rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  . 1. a. Étudier les variations de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (x) = xex − 1. g ′ (x) = e x (1 + x). e x > 0 donc g ′ (x) est du signe de x + 1 sur [0; +∞[, soit strictement positif

droite, limite à gauche 24 Exemples 25 Passage à la limite dans les inégalités 26 Continuité d’une fonction Continuité en un point 27 y y O x0 O f est continue en x0 x O x0 f est discontinue en x0 Question : Repérer f (x0) dans le graphisme à gauche. x Définition mathématique 28 Continuité globale 29 Cas extrême de discontinuité 30 “Stabilité” de la continuité … 31 Prolongement par continuité d’une fonction en un point 32 Exemples 33 Dérivabilité Dérivabilité en un point

n’est pas une borne de Ι, alors f '(a) = 0. 2 25/09/2014 Attention! • La condition nécessaire n’est pas suffisante. • La fonction x ⟼ x3 est un contre exemple. • En effet, sa dérivée s’annule en 0 mais elle ne présente pas d’extremum. Notion de continuité sur un intervalle •Soit f une fonction définie sur un intervalle Ι. Dire que f est continue sur Ι signifie que l’on peut tracer sa courbe sur Ι sans lever le crayon. •Propriété : Une fonction dérivable sur un intervalle Ι est continue sur Ι. Attention

Correction du N° 63 p 71 1. La courbe a pour équation, ? = ?? ! + ?? ! + ?? + ?, elle représente donc la fonction définie par ?(?) = ?? ! + ?? ! + ?? + ?. Il faut déterminer a, b, c et d pour connaître cette fonction. On peut donc prévoir que le texte donnera 4 renseignements. Premier renseignement et deuxième renseignement: La courbe est tangente à la droite d’équation y = -1 au point A d’abscisse 0, cette droite est parallèle à l’axe des abscisses son coefficient directeur est 0 et le point A est

> Calcul intégral Séquence 3 – MA09 113 Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Généralités ......................................................................................................................................................... 117 Chapitre 2 > Intégration par parties .............................................................................................................. 125 Chapitre 3 > Intégrales et inégalités .........................

PRIMITIVES. 1. Définition de primitives et conséquences. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien : ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x)

Terminale S 3 F. Laroche Concours Fesic Correction mai 2006 Exercice 7 a. Vrai : 1 ( ) 1 ( ) ( ) cos sin sin cos cos 2 2 x x x f x e x x e x x e x ¢ = - - - - - - = - b. Vrai : ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 '( ) 1 cos 1 cos 2 2 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 n n n n n n n n n n f x dx f n f n e n e n e e e e p p p p p p p p p p p p p p + - - - - - + - - - = + - = - + + - = - - + - = + ∫ c. Faux : on vérifie aisément que f est une solution ; par contre

Chapitre 2 : Int´egration num´erique I. Motivation : calcul approch´e d’int´egrales Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 M´ethodes des rectangles Approximation par une fonction constante par morceaux 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5

Chapitre 1 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1 Définitions et notations Tout n-uplet de réels (x1, x2, ..., xn) correspond dans l’espace à n dimensions noté Rn : * à un point X (x1, x2, ..., xn) * à un vecteur colonne X =
 x1 x2 ... xn   Une fonction numérique f de n variables réelles est une application d’un ensemble Df inclus dans Rn dans R . Elle fait correspondre à tout n-uplet de réels X= (x1, x2, ..., xn) une image réelle y = f(X) = f(x1, x2, ..., xn) 1.1 Exemple