Absolue continuité

Le syndrome de la grenouille / grenouille-cuite Imaginez une marmite remplie d’eau froide dans laquelle nage tranquillement une grenouille. Le feu est allumé sous la marmite, l’eau chauffe doucement. Elle est bientôt tiède. La grenouille trouve cela plutôt agréable et continu de nager. La température continue de grimper. L’eau est maintenant chaude. C’est un peu plus que n’apprécie la grenouille, ça la fatigue un peu, mais elle ne s’affole pas pour autant. L’eau est cette fois vraiment chaude;

boules ouvertes Bη (x) telles que e y ∈ Bη (x) =⇒ f (y) ∈ Bε (f (x)), est un recouvrement ouvert de [a, b], dont on peut extraire un recouvrement fini d’apr` s le th´ or` me de Heine–Borel. Le minimum de e e e ces η correspond au η de l’uniforme continuit´ (au pire pour 2ε au lieu de ε). e (Pour une d´ monstration du th´ or` me de Heine–Borel, voir ailleurs...) e e e 8 www.L es-M athematiques.net Corollaire 6 De mˆ me, une fonction (born´ e !) continue sauf en un nombre e e fini de

es montages redresseurs, souvent appelés simplement redresseurs, sont les convertisseurs de l'électronique de puissance qui assurent directement la conversion alternatif continu. Alimentés par une source de tension alternative monophasée ou polyphasée, ils permettent d'alimenter en courant continu le récepteur branché à leur sortie. On utilise un redresseur chaque fois que l’on a besoin de continu alors que l'énergie électrique est disponible en alternatif. Comme c'est sous cette seconde

Dérivation I. Des exemples pour commencer 1. Fonction carrée On définit la fonction f telle que f ( x) = x ² sur [ −1; 2] . Soient les points A (1;1) et M ( x; x ² ) ∈ C f ( AM ) est une sécante à la courbe C f Cf Calculons le coefficient directeur de ( AM ) : m= yM − y A x ² − 1 = xM − x A x −1 m= ( x + 1)( x − 1) = x + 1 si x ≠ 1 . x −1 © http://www.bacdefrancais.net Page 1 sur 23 Dérivation Lorsque l’on « rapproche beaucoup » le point M du point

C 1 sur Rn \ {0} puisque N (x) = On peut alors calculer les dérivées partielles de F dans la base canonique (e1 , . . . , en ) : Di F (x) = f ( x ) ei xi x + f ( x ) ei si x = 0 si x = 0 Par la continuité de f en 0 avec f (0) = 0, on observe la continuité des dérivées partielles Di F sur Rn et on peut affirmer que F est de classe C 1 . c) Pour x ∈ Rn \ {0} x2 + · · · + x2 avec x2 + · · · + x2 = 0 n 1 n 1 ∂N xi (x) = ∂xi N (x) (x | h) x + f ( x )h x Pour

partielles des coordonnées de par rapport à la première variable , la deuxième colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la deuxième variable et ainsi de suite. Théorème : Soit D. Soit une bijection de classe la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne de Exemple : Calculer au domaine . Alors, nous avons : sur le domaine En effectuant le changement de variable On a aussi . Le domaine D en (u,v) est donc le rectangle . Le jacobien de ce changement de

Sujet 1, Antilles, septembre 2010 Exercice 3 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,75 point. Une réponse fausse enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note

Lyc´e Dominique Villars e ECE 2 Exercices REVISIONS - INTEGRATION sur un segment [a, b] Exercice 1 (d’apr`s EML 2013). e On consid`re l’application g : R −→ R d´finie, pour tout t ∈ R, par : e e g(t) = −t ln(t) si t > 0 0 si t 0 1. Montrer que g est continue sur R. On d´finit sur R, la fonction f par : e 1 f (x) = g(t) dt x 2. Justifier que f est de classe C 1 sur R et ´tudier ses variations sur R. e 3. Soit x 0. A l’aide d’une int´gration par parties, d´terminer

x − 1)2 ≤ ln x − ( x − 1) ≤ 0 et ln x − ( x − 1) ≤ . 2 2 ᕤ Il en résulte que, par exemple, 0,00001 est une valeur approchée de ln1, 00001. Dans cet exemple, donner un majorant de l’erreur c’est-à-dire un nombre plus grand que la valeur absolue de la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée. 26 Devoir 5 – MA02-14 Partie B On considère l’algorithme suivant : Entrée a (1 < a < 20) Entrée n (entier naturel) Dans U mettre a Pour I de 1 à n Dans U mettre racine

Chapitre 5 Primitives et int´egrales 1 D´efinition et propri´et´e 1.1 D´efinition D´efinition 1.1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F d´erivable sur I et telle que, pour tout r´eel x de I, F 0 (x) = f (x). On a alors le th´eor`eme suivant. Th´eor`eme 1.1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I, deux d’entre elles diff´erant d’une constante. Il est important de bien connaˆıtre les primitives