AK-47

{0,...,n} : ak ϕk : E −→ R, P −→ ϕk (P) = P(x) dx. 0 a) Montrer que (ϕk )0 k n est une base du dual E ∗ de E. b) Déterminer la base anté-duale de (ϕk )0 k n. Conseils Solution a) • Il est clair que : ∀ k ∈ {0,...,n}, ϕk ∈ E ∗ . Linéarité de l'intégration. n • Soit (λk )0 k n λk ϕk = 0. ∈ Rn+1 tel que On va établir que (ϕk )0 k n est libre. k=0 n On a donc : ak λk ∀ P ∈ E, ∀ Q ∈ Rn+1 [X], Q ∈ Rn [X], Comme : n on a : P(x) dx = 0. 0 k=0 ∀ Q ∈ Rn+1 [X], ak λk Q (x) dx

combats incessants est une raison mais pas la seule raison au recrutement des enfants. Comme on leur fait utiliser des armes légères, les trafficants d'armes ont tout arrangé pour qu'un enfant de sept ans puisse, sans problème, monter et démonter un AKA-47, des Kalachnikov, ou encore des carabines M-16. De plus, les jeunes pourront, grâce à la petite taille des armes, à leur légèreté et à leur mécanisme automatique s'en servir très (trop?!) facilement. Le coût bas de ces armes facilite leur approvisionnement

ALLAOU Service Entretien Habitat MNG/LM/H Service Sécurité MNG/LE/S Projet Réhabilitation et Valorisation du Patrimoine MNG/LV Projet Développement des Compétences MNG/LC Saïd BOURJAL Service du Personnel de Benguérir MNG/LB/A Mohammed ROUDI21.2.2009 47 ORGANIGRAMME DE LA DIRECTION PRODUCTION relevant de la DIRECTION DES EXPLOITATIONS MINIERES DE GANTOUR DIRECTION PRODUCTION MNG/P Service du Personnel Youssoufia MNG/P/A Mohamed Zakaria DERKAOUI Division Extraction Youssoufia MNG/PY Mohamed NOUHAIR

AI = I RR(I) = 0.1 * AI ' r/R PR(I) = 0.1 * AI * GR 'r ALI = ALOD * RR(I) ' Lam = Lam o x r/R (rappel Lam =om r /V1) TETA = PPI / 3 + (Atn(ALI)) / 3 ' angle Teta (p.71) pour calcul k et h AK = Cos(TETA) * Sqr(1 + ALI ^ 2) ' k tel que V2 = k V1 AH = Sqr(1 + (1 - AK ^ 2) / (ALI ^ 2)) ALER = ALI * (1 + AH) / (1 + AK) ' Lam e = cotg I ou I dir vent apparent(p.72) T(I) = 1 / ALER ' tan I GIR = Atn(T(I)) ' dir vent apparent I GI(I) = GIR * CO ' id en degrés If Calcst$ = "OUI" Then ALFA(I)=oSheet.getCellRangeByName("Calage")

récurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deuxième exemple : algorithme de Strassen pour la multiplication de matrices . . . . . . . . 25 25 29 29 29 29 30 31 31 31 32 33 33 33 36 37 39 39 39 39 40 42 42 43 44 47 47 51 51 51 51 53 53 54 54 54 55 55 55 57 57 58 60 60 61 Algorithmes de tri 4.1 Tri par fusion . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Algorithme . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Complexité . . . . . . . . . . .

exclusifs. Plusieurs événements aléatoires associés à une même expérience aléatoire sont dits mutuellement exclusifs ou mutuellement incompatibles s’ils sont exclusifs deux à deux. Si k événements A1, A2, …, Ak sont mutuellement exclusifs alors : p(A1 ou A2 ou … ou Ak) = p(A1) + p(A2) + … + p(Ak) Si trois événements aléatoires A, B, et C ne sont pas mutuellement exclusifs alors : p(A ou B ou C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A et B) – p(A et C) – p(B et C) + p(A et B et C) 2.2.3. Evénements complémentaires

Développements limités 4 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Fonctions d’une variable 37 38 39 40 41 42 L’équation fonctionnelle f (x + y ) = f (x) + f (y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions d’une variable, nombres rationnels 46 47 48 50 52 53 Valeurs prises par une fonction dans tout voisinage de +∞ . . . . . . . . . . . . . . Continuité des fonctions, suites numériques Étude d’une fonction et d’une suite de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Borne supérieure

que A est intègre puis que A est un corps. Exercice 46 [ 00141 ] [correction] [Z est noethérien] Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de Z est stationnaire. Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de K [X] ?. Exercice 47 Centrale MP [ 02367 ] [correction] Soit A un sous-anneau de Q. a) Soit p un entier et q un entier strictement positif premier avec p. Montrer que si p/q ∈ A alors 1/q ∈ A. b) Soit I un idéal de A autre que {0}. Montrer qu’il existe n ∈ N tel que

Soient n ∈ N et (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ Rn+1 avec an ￿= 0. R → R La fonction P : est appelée fonction polynôme de degré x ￿→ a0 + a1 x + · · · + an xn n. R → R La fonction P : est appelée fonction polynôme nulle de degré −∞. x ￿→ 0 ￿n ￿n P (x) = k=0 ak xk = i=0 ai xi (k et i sont des symboles "muets"). Exemples 1.1.4. Fonction rationnelle Soient P et Q deux polynômes, D = {x ∈ R; Q(x) ￿= 0} D → R La fonction f : P (x) est appelée fonction rationnelle. x ￿→ Q(x) Exemples 1.1.5. Fonction en escalier

deux constantes. On a: 1. Θ(loga n) < Θ(logb n) 2. Θ(loga n) = Θ(logb n) 3. Θ(loga n) > Θ(logb n) 4. Θ(loga n) et Θ(logb n) sont incomparables Ordre de grandeur des fonctions 26 Exercice • Montrer que Θ(f + g) = Θ(Max{f,g}). • Soit p(n) = ak nk + . . . + a1 n + a0 un polynôme de degré k. Montrer que p(n) ∈ Θ(nk ). Ordre de grandeur des fonctions 27 Exercice Supposons que f (n) ∈ Θ(g(n)). Est-ce qu’il est vrai que 2f (n) ∈ Θ(2g(n) )? Dans le cas affirmatif prouvez le, sinon donnez