Analyse complexe

Exercices - Anneaux : corrigé Structure d’anneaux Exercice 1 - Eléments nilpotents - Math Spé/L2 Soient n, m tels que xn = 0 et y m = 0. 1. Puisque x et y commutent, on a (xy)n = xn y n = 0 × y n = 0. 2. Remarquons d’abord que pour p ≥ n, on a xp = xp−n xn = 0. D’après la formule du n+m k n+m−k binôme, (x+y)n+m = n+m x y . Mais, pour k ≥ n, xk = 0 =⇒ xk y n+m−k = k=0 k 0. D’autre part, pour k < n, on a n + m − k ≥ m et donc y n+m−k = 0 =⇒ xk y n+m−k = 0. Ainsi, (x + y)n+m = 0. On pourrait même

Si beaucoup (despoids,des de grandeurs s'ajoutent chiffres d'affaires, elc.),d'autres typesde données, tels lesindices deprixsurdespériodes successives, secomposent nonparaddition maisparmultiplication. Cesopérations lontnaturellement apparaître lesfonctionsexponentielles, tandisquelestonctions logarithmes permettent de revenir à desmodèles additifs. Nousrappellerons simplement ici lespropriétés et I'usage de ces fonctions. Figure1 1.Lesfonctions exponentielles 0 1 x a) Exemple introductif Lesdeuxfonctions

formant une composition ............................................ Bacon souligne ainsi la portée .......................................................... du mythe d’Œdipe, tout comme le docteur Freud l’avait fait avant lui, en découvrant le complexe d’Œdipe.

systèmes homologues, mais aussi avec... etc. Cours de Biologie et Ecologie végétale. . Master SVT 1 Page 2 sur 4 Définition d'un écosystème: Plusieurs définitions sont en concurrence (polycop). 3 mots-clé : unité fonctionnelle, interactions complexes, autorégulation L'écosystème est l'objet - et le concept - majeur de l'écologie. Il se caractérise par une structuration horizontale (répartition spatiale des structures), verticale (stratification) et temporelle (phénophases saisonnières). (polycop)

cas qu’en passant outre la question des racines carrées de nombres négatifs, la formule de Cardan qui s’écrit √ √ x = 2 − −1 + 2 + −1 = 4, donne encore une racine de l’équation du 3e degré. C’est à la suite de calculs de ce genre que les nombres complexes ont fait leur apparition, en acceptant l’existence de règles de calcul concernant le nombre « imaginaire » √ i = −1. En application de la formule de Cardan, on peut toujours essayer de résoudre cette équation (18) x3 − 18 x + 35 = 0 sans passer

Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, z n = x n + i y n l’affixe du point A n . a) Soit u n = |z n |. Montrer que, pour tout entier naturel n, u n = 5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ? b) On admet qu’il existe un réel θ tel que cos θ = 0, 8 et sin θ = 0, 6. Montrer que, pour tout entier naturel n, ei θ z n = z n+1 . c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, z n = ei nθ z 0 . π d) Montrer que θ + est un argument du nombre complexe z 0 . 2 e)

psychanalyse, il est le premier penseur moderne à démontrer le rôle de la sexualité sur le développement psychologique. Freud élabore plusieurs théories en lien avec la sexualité, et l’une d’entre elle est : quel éclairage jetterait la théorie freudienne du complexe d’Oedipe sur l’homosexualité ? Alors, ce texte portera sur cette théorie élaborée par Freud et par la suite une thèse personnelle sur le sujet. Premièrement, Sigmund Freud né en 1856 à Freiberg, en Autriche, est le père de la psychanalyse. Il est

Les corrections seront également bientôt disponibles à cette même adresse. • • • • • • • • • • • • • • ET1 : Suites et récurrence. ET2 : Suites et probas. ET3 : Suites et intégrales. ET4 : Étude de fonction logarithme. ET5 : Étude de fonction exponentielle. ET6 : Nombres complexes et géométrie. ET7 : Nombres complexes et transformations. ET8 : Probabilités conditionnelles. ET9 : Probabilités et variables aléatoires discrètes. ET10 : Probabilités et variables aléatoires continues. ET11 : Espace et vecteurs. ET12 : Espace et produit scalaire.

double Equations différentielles linéaires du 2ème ordre. U.M.N. 13. r=− Cours. b 2a La solution générale de (II) est ySG ( II ) = erx ( C1 x + C2 ) avec ( C1 , C2 ) ∈ R 2 3. ∆ = b 2 − 4 ac < 0 L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées soit en posant α = Partie réelle de r1 ( ou de r2 ) = − b 2a β = Valeur absolue Partie imaginaire de r1 ( ou de r2 ) = r1 = −∆ 2a −b + i −∆ −b − i −∆ = α + iβ et r2 = = α − iβ 2a 2a La solution générale de (II) est ySG ( II ) =

DOMOTIQUE 2008-2010 Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction I.1 Le nombre i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Forme algébrique II.1 Définition . . . . . . . . . II.2 Premiers calculs . . . . . . II.3 Représentation graphique II.4 Conjugué d’un complexe . II.5 Inverse d’un complexe . . 2 2 2 . . . . . 3