Analyse vectorielle

topologique d’un espace p . Exemples de parties compactes de 2 ´ Enonc´ e Dual topologique d’un espace compactes de 2 p . Exemples de parties Dans tout le probl`me le corps de base des espaces vectoriels consid´r´s est C . Lorsque (E , · ) e ee est un espace vectoriel norm´, E d´signe l’espace des formes lin´aires continues sur (E , · ) . e e e Partie I [ I ] [ S ] 1) On d´signe par B la boule ferm´e unit´ de E , c’est ` dire l’ensemble des vecteurs x de e e e a E tels que x 1

ne passant pas par 0 b R3 tout entier c un plan contenant (1, 1, 1) d un plan contenant (−12, −24, −36) e une droite contenant (1, 3). a une droite de R3 contenant (1, −2, 1) b un plan de (3, −1). R3 contenant (1, 1, −1) c un sous-espace vectoriel de R2 contenant 2 La famille ((0, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 2, 1)) est a génératrice de b liée c une base de R3 R2 1 2 3 dans les bases 3 2 1 canoniques et x = (1, 2, 3), alors par la matrice M = 6 Si f est l'application linéaire représentée

0. On en déduit alors facilement que a = b = c = d = 0. La famille (u, v, e1 , e2 ) est libre. Elle comporte 4 éléments dans un espace de dimension 4 : c’est une base de R4 . Exercice 11 - Base d’un espace vectoriel - L1/Math Sup Il est facile de prouver que E est un sous-espace vectoriel des fonctions continues sur [−1, 1]. Pour trouver une base de E, partons de f ∈ E. Puisque f est affine sur [−1, 0], il existe des constantes a et b telles que, pour tout x ∈ [−1, 0], on a f (x) = ax + b. Puisque

parties bornée . . . . 1.3 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Position d’un point par rapport à une partie de Rn . . . . . 1.5 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Suites numériques dans un espace vectoriel normé 1.6.2 Ensemble compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Systèmes linéaires à 2 inconnues Emilien Suquet, suquet@automaths.com 0 Introduction Equation linéaire à deux inconnues 2x + y = 4 est une équation linéaire à deux inconnues x et y. La résoudre, c’est rechercher tous les couples de solutions (x,y) qui vérifient l’équation 2x + y = 4. ( 2 , 3 ) n’est pas un couple solution car il ne vérifie pas l’équation : 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 4 ( 1 , 3 ) , ( -2 , 8 ) sont des couples solution : 2 × 1 + 3 = 7 et 2 × (-2) + 8 = 7 On dit que deux équations

+ tb} Une partie A non vide d’un K-ev est dite convexe si et seulement si ∀ a, b ∈ A [ a, b] ⊂ A Cela équivaut à dire que A est stable par opération de barycentre à coefficients positifs. 4 Les boules ouvertes ou fermées d’un espace vectoriel normé sont convexes. Partie bornée Une partie A d’un ev normé ( E, normes ) est bornée si et seulement si l’ensemble des { x , x ∈ A} est majoré dans R+ . • Toute partie contenue dans une partie bornée est bornée. • Un réunion d’une

vérifie P6 . I.A.3) Le groupe linéaire GLn (C) ne vérifie évidemment pas P1 (les éléments de GLn (C) sont les matrices de rang n et ici n 2) ; il vérifie P2 et P3 car I ∈ GLn (C). Il ne vérifie pas P4 , i.e. GLn (C) n’est pas un sous-espace vectoriel de E (car la matrice nulle 0E n’appartient pas à GLn (C)). Enfin il vérifie P5 : le produit de deux matrices inversibles est une matrice inversible. En résumé, GLn (C) vérifie P2 , P3 , P5 (et P6 ) et pas les autres propriétés de la liste. I

Rabat -Agdal Éléments d’algèbre et de géométrie Chapitre II : Espace vectoriel de dimension finie Professeure : Amale LAHLOU _________________________________________________ Semestre III / Session : Automne-Hiver 2011/2012 2 Professeure : Amale LAHLOU Sommaire MOTIVATION ......................................................................................................................... 3 1 STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL ...................................................................

GROUPES ET ESPACES VECTORIELS GROUPES Un groupe (G,*) est un ensemble G auquel est associé une opération * (la loi de composition) vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. pour tout x, y  G, x * y  G (* est une loi de composition interne) 2. pour tout x, y, z  G, (x * y)* z = x*(y * z) (la loi est associative) 3. il existe e  G tel que " x  G, x * e = x et e * x = x (e est l’élément neutre) 4. pour tout x  G il existe x'  G tel que x * x' = x' * x = e (x' est l’inverse de x

d’angle -- . 3 c) En déduire la nature du triangle OIJ. Soit B le milieu du segment [ OI ] . a) Déterminer l’affixe du point B et placer le point B sur la figure. b) Préciser la nature du triangle JBO. 1 Soit A le point du plan défini par l’égalité vectorielle BA = – -- OJ . 2 a) Déterminer l’affixe du point A et placer le point A sur la figure. π b) Vérifier que le point A est l’image du point B par la rotation de centre O et d’angle – -- . 3 c) Montrer que le point A est le barycentre des points J, O,