Application affine

et C(A) = {M ∈ Mn (C), AM = M A} Montrer que (Ak )0 k n−1 Exercice 3 [ 00703 ] [correction] a) Monter qu’une matrice A ∈ Mn (K) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente. b) Soit f : Mn (K) → K une application vérifiant : f (On ) = 0, f (In ) = 1 et pour tout A, B ∈ Mn (K), f (AB) = f (A)f (B) Montrer que A ∈ Mn (K) est inversible si, et seulement si, f (A) = 0. [ 00707 ] [correction] ∞ Soit S(x) = an xn le développement en n=0 N a) Pour N ∈ N, on pose

. . . . 5 Espaces euclidiens et applications linéaires 5.1 Espaces de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Norme et distance dans Rn . . . . . . . . . . . 5.1.4 Représentation matricielle des vecteurs de Rn . 5.1.5 Formule matricielle du produit scalaire . . . . . 5.1.6 Multiplication des matrices et produit scalaire 5.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . .

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juin 2013 Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E

définitions Exemples d’applications Applications constantes Les applications les plus simples sont bien sûr les applications constantes qui à tout x associent la même image c. Ên → Êp f: x = (x1 , ..., xn ) → c = (c1 , ..., cp ) Si n = 2 et p = 1, par exemple f (x, y) = 1 ∀(x, y) ∈ Ê2 , le graphique de la fonction, c’est-à-dire l’ensemble G = {(x, y, z = f (x, y)) : (x, y) ∈ Ê2 } est le plan d’équation z = 1, parallèle au plan de base (Oxy) (figure 1.1). Applications linéaires Soit une matrice A à p

de E. Montrer que F peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini d’hyperplans. Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire ? Exercice 18 [ 00171 ] [correction] Soit E l’ensemble des applications f : [−1, 1] → R continues telles que les restrictions f|[−1,0] et f|[0,1] soient affines. a) Montrer que E est un R-espace vectoriel. b) Donner une base de E. Exercice 23 [ 00178 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n. Montrer que 2 (I, f, f 2 , . .

Créez votre application web avec Java EE Par Coyote Ce PDF vous est offert par Découvrez des métiers plein d'envies http://www.fr.capgemini.com/carrieres/technology_services/ www.openclassrooms.com Licence Creative Commons 6 2.0 Dernière mise à jour le 31/01/2013 2/607 Sommaire Sommaire ........................................................................................................................................... 2 Lire aussi ...................................

. . . . 5 Espaces euclidiens et applications linéaires 5.1 Espaces de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Norme et distance dans Rn . . . . . . . . . . . 5.1.4 Représentation matricielle des vecteurs de Rn . 5.1.5 Formule matricielle du produit scalaire . . . . . 5.1.6 Multiplication des matrices et produit scalaire 5.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . .

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. 5 Espaces euclidiens et applications linéaires 5.1 Espaces de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Norme et distance dans Rn . . . . . . . . . . . 5.1.4 Représentation matricielle des vecteurs de Rn . 5.1.5 Formule matricielle du produit scalaire . . . . . 5.1.6 Multiplication des matrices et produit scalaire 5.2 Applications linéaires . . . . . . . . . .

Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 17 Matrices et applications linéaires Sommaire 17.1 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base . . . . . . 17.1.2 Matrice d’une appn linéaire dans un couple de bases . . . . 17.1.3 Coordonnées de l’image d’un vecteur par une appn linéaire 17.1.4 Propriétés opératoires . . . . . . . . . .