Bijection réciproque

Opérations sur les ensembles . . . . . . 2.2 . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Images et antécédents . . . . . . . . . 2.2.3 Restriction, prolongement, composition 2.2.4 Injections, surjections et bijections . . 2.3 . . . . . 2.3.1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Ensemble infinis et dénombrabilité . . Applications Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

représentative dans un repère orthonormé O, i , j . ( unité graphique : 2cm). 1) a) Dresser le tableau de variation de . b) Montrer que pour tout réel x 0 on a : f x Interpréter graphiquement ce résultat. 2) a) Montrer que la fonction x . réalise une bijection de I = ]- que l’on déterminera. On notera (C’) la courbe représentative de sur un intervalle J   dans le repère O, i, j . b) Montrer que les courbes ( C ) et ( C’ ) se coupent en un unique point d’abscisse β et que -0.81 < β < -0.80. c) Montrer

rationnelles Zéros d'une fonction rationnelle f Différentes écritures de f(x) Signe de f(x) suivant les valeurs de x . 1- Généralités Applications injectives, surjectives, bijectives. Application réciproque, composition des applications Restriction d'une application, prolongement Image directe, réciproque 2- Fonctions polynômes Généralités. Zéros Factorisation, divisibilité Signe de l'image d'un réel par une fonction polynôme. TABLEAUX SYNOPTIQUES: Série Sciences Mathématiques (2/6) 11ème 12ème

. , n − 1}, ∀x ∈]ai , ai+1 [, f (x) = λi . Exemple. E(x) = [x] = max{k ∈ Z, k ≤ x} et [a, b] = [−1, 3]. Exemples 1.1.6. Fonctions ln, exp R∗ → R ln est la primitive sur R∗ de f : + 1 qui s’annule pour x = 1 + x ￿→ x R → R∗ + exp est la fonction réciproque de ln, exp : x ￿→ ex Exemples 1.1.7. Fonctions trigonométriques → → − − Dans le plan P orienté muni d’un repère orthonormé direct (O, i , j ), on note I(1, 0), J(0, 1) et C le cercle de centre O et de rayon 1. Soient x ∈ [0, 2π] et M le point de

dans E, noté A, est l’ensemble des éléments de E n’appartenant pas à A. A = {x ∈ E; x ∈ / A}. Remarque III.1.12. — Le complémentaire de A dans E se note également ∁A ou ∁E A. Remarque III.1.13. — Deux parties complémentaires sont disjointes ; la réciproque est fausse. Proposition III.1.14. — Soient E un ensemble et A ∈ P(E). On a : E = ∅, ∅ = E, A = A. Proposition (lois de Morgan) III.1.15. — Soient E un ensemble et A, B ∈ P(E). On a A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B. Combinatoire et dénombrement

Utiliser ce qui précède pour encadrer cos x par des fonctions paires . cos x ― 1 . 7°) Déduire du 6° la limite en 0 de x2 DERIVEE DE LA RECIPROQUE D’UNE BIJECTION (cf. Exercice 49) EXERCICE 70 1°) La fonction sinus admet une fonction réciproque, notée Arcsin, définie sur l’intervalle π π [― ; ] . Déterminer la fonction dérivée de cette fonction réciproque . 2 2 2°) Même question pour la fonction cosinus et l’intervalle [ 0; π ] . π π 3°) Même question pour la fonction tangente et l’intervalle

a) Pour tout x de  ;0 , g(x)= f(x). Comme f est continue et strictement croissante sur  ;0 , g est continue et strictment croissante sur cet intervalle. C'est donc une bijection de  ;0 sur            ;0)x(glim;)0(g);0(g x , et admet ainsi une réciproque g -1 de  ;0 dans  ;0 . b) Courbe ( C') de g'-1 sur la figure précédente

équivalent de y au voisinage de b. possède une solution maximale unique. b) Montrer que celle-ci est impaire et strictement croissante. c) Etablir enfin qu’elle est définie sur R. d) Déterminer la limite en +∞ de cette solution. e) On note ϕ la bijection réciproque de cette solution. Exprimer ϕ à l’aide d’une intégrale en formant une équation différentielle vérifiée par cette fonction. Exercice 7 [ 00437 ] [correction] On considère l’équation différentielle Exercice 3 [ 00432 ] [correction] On considère

préciser les notions de condition nécessaire et de condition suffisante. e) Applications Application (ou fonction) d’un ensemble E dans un ensemble F . Graphe d’une application. Restrictions. Image directe, image réciproque. Composition. Injection, surjection, bijection, réciproque d’une bijection. Application identité. © Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013 ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❡♥s❡✐❣♥❡♠❡♥ts✉♣✲r❡❝❤❡r❝❤❡✳❣♦✉✈✳❢r Manipuler le langage élémentaire des applications. Faire le lien avec la

Par une isométrie, – Les images de deux droites // sont deux droites //. – Les images de deux droites  sont deux droites  . Th 5 : Toute isométrie transforme un repère orthonormé en un repère orthonormé. Th 6 : Toute isométrie est une bijection et sa réciproque est une isométrie. Th 7 : Toute isométrie conserve le barycentre de deux points pondérés en particulier le milieux. Th 8 : L’image d’un cercle C(O, R ) par une isométrie f est un cercle C ' de centre O'  f (O) et de même rayon R. Th 9 :