Bijection réciproque

f définie sur [2,+∞[ par f (x) = x+x2-4 1. Montrer que f'x=1+xx2-4 pour tout x ∈ [2,+∞[. 2. Dresser le tableau de variation complet de f pour tout x ∈ [2,+∞[. 3. Montrer que f réalise une bijection de I = [2,+∞[ sur un intervalle J que l’on précisera. 4. On désigne par f-1 la réciproque de f. a) Déterminer le sens de variation de f-1 sur J. b) Déterminer f-1 2et lim+∞f-1 x. c) Calculer f (3) puis(f-1 )'5+3. d) Expliciter f-1 x pour tout x ∈J. Exercice

pas deux fois dérivable en 0. Cependant : Soit . Soit f de classe sur I. Alors f admet en tout point a de I un DL à l’ordre n, qui est donné par la formule de Taylor–Young : Exercice : Soit . Montrer que f est une bijection de R dans R dont la réciproque est de classe . Déterminer . Déjà f est bijective, de classe et de dérivée ne s’annulant pas. Donc est de classe . Comme est de classe , elle admet un DL à l’ordre 3 en 0 : , et . Pour tout réel x, on a : d’une

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.12. Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Restreindre une fonction pour la rendre injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.13. Fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Représentation graphique

ROC: Restitution Organisée des Connaissances ∗ Terminale S Septembre 2005 Table des matières 1 Analyse 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle 1.6.1 La fonction exponentielle . . . . . . .

ROC: Restitution Organisée des Connaissances  Terminale S Septembre 2005 Table des matières 1 Analyse 2 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Propriétés

D’UNE FONCTION 1.5 Continuité et dérivabilité Théorème 2 : Admis • Si f est dérivable en a alors la fonction f est continue en a. • Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I. La réciproque de ce théorème est fausse Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse. Pour s’en rendre compte, on peut s’appuyer sur une représentation graphique. Si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Si la fonction

pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que y = f (x). − une bijection, ou que f est bijective ssi tout élément de F admet exactement un antécédent dans E : pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E, x unique, tel que y = f (x). On parle alors de bijection de E sur F. 3 Introduction Exemple important Soit E un ensemble (non vide). L’application IdE : E → E, x → IdE (x) = x est appelée l’application identité de E. (C’est d’ailleurs une bijection.) Propriétés Proposition 1. Une application est bijective

la fonction ? ne s’annule pas sur ℝ∗ . V.E – Le but de cette question est de montrer ?(0) = 0. V.E.1) Montrer que si ?(0) ≠ 0, alors il existe ? > 0 tel que ?(0)?(2) = ?(1)?(?). V.E.2) Conclure. V.F – Soit ? = ? −1 : ? → ℝ la fonction réciproque de la bijection ? : ℝ → ? . Montrer que là où cela est défini (?(??))2 = ?(? 2 )?(? 2 ) V.G – On suppose dans cette question que la fonction ? prend des valeurs strictement positives sur ? ∩]0, +∞[. V.G.1) Montrer que la fonction ? = ln ∘ ? ∘ exp vérifie

Fonction exponentielle On a établi en activités deux implications réciproques entre deux propriétés (P) et (Q) pour une fonction f, non nulle définie et dérivable sur R. On se reportera pour les démonstrations du chapitre à celles effectuées en activités. (P) : f vérifie : f ‘= kf et f(0)= 1 (Q) : pour tous réels x et y : f(x + y) = f(x)[pic] f(y) On a en outre établi que le réel k en question n’est autre que : f’(0) L’existence de fonctions f vérifiant ces propriétés est admise.

différentielles 60 1re année Logarithmes, exponentielles et puissances 1re année 24 Équations différentielles linéaires 62 1re année et 2e année 9 10 11 12 Fonctions circulaires et réciproques 1re année 21 28 Systèmes différentiels linéaires 2e année 66 Fonctions hyperboliques et réciproques 32 1re année 22 Notions sur les équations différentielles non linéaires 68 1re année et 2e année Suites numériques 1re année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70