Bijection réciproque

différentielles 60 1re année Logarithmes, exponentielles et puissances 1re année 24 Équations différentielles linéaires 62 1re année et 2e année 9 10 11 12 Fonctions circulaires et réciproques 1re année 21 28 Systèmes différentiels linéaires 2e année 66 Fonctions hyperboliques et réciproques 32 1re année 22 Notions sur les équations différentielles non linéaires 68 1re année et 2e année Suites numériques 1re année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70

57 57 57 57 58 59 59 60 61 62 63 63 63 65 66 69 69 71 71 73 73 74 74 77 77 77 78 79 81 81 81 83 85 85 86 88 11 Continuité 1 Dé…nitions et propriétés algébriques 2 Prolongement par continuité . . . . . 3 Propriétés des fonctions continues . . 4 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . 12 Dérivabilité et fonctions de classe 1 Généralités . . . . . . . . . . . . 2 Règles de calculs . . . . . . . . . 3 Fonctions monotones . . . . . . . 4 Prolongement . . . . . . . . . . . 5 Théorème des accroissement

: pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que y = f (x). − une bijection, ou que f est bijective ssi tout élément de F admet exactement un antécédent dans E : pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E, x unique, tel que y = f (x). On parle alors de bijection de E sur F. 3 Introduction Exemple important Soit E un ensemble (non vide). L’application IdE : E → E, x → IdE (x) = x est appelée l’application identité de E. (C’est d’ailleurs une bijection.) Propriétés Proposition 1. Une application est bijective ssi

donc δ divise leur pgcd , c'est-à-dire δ divise p. En conclusion p | pgcd( a, b ) et pgcd( a , b ) | p d'où p = pgcd( a , b ). ( 1 point ) On a donc prouvé que si pgcd( a + b , ab ) = p ( nombre premier ) alors on a aussi pgcd( a , b ) = p mais la réciproque est fausse ( voir question 2-b) ) ab 2- a) Ce système est équivalent à pgcd( a ,b) = 5 et = 170 ,avec a ≤ b pgcd( a ,b) soit pgcd( a ,b) = 5 et ab = 850 ,posons a = a' × 5 et b = b' × 5 avec pgcd( a' , b' ) = 1 ,on obtient 25 × a' b' = 850 soit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Relation d’équivalence

ANALYSE Partie I : Etude de la réciproque de la fonction tanh. 1.- On sait que tanh est dérivable sur R et que, pour tout réel x : (tanh) ′ (x) = sinh cosh ′ (x) = sinh ′ (x)cosh(x) − sinh(x)cosh ′ (x) cosh2 x − sinh2 x 1 = = > 0. 2 2 cosh (x) cosh x cosh2 x Donc, tanh est dérivable et strictement croissante sur R. Par suite, tanh établit une bijection de R sur tanh(R). Or, tanh(R) =] lim tanh(x), lim tanh(x)[=] − 1, 1[= I. x→ −∞ x→ +∞ Donc tanh établit une bijection de R sur I =] − 1, 1[. 2.-

entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er septembre 2014 Enoncés Bijection continue 4 Exercice 42 [ 01791 ] [correction] Soit f : R → R une fonction continue en 0 et en 1 telle que Exercice 37 [ 01816 ] [correction] Soit f : R → R définie par ∀x ∈ R, f (x) = f (x2 ) f (x) = x 1 + |x| Montrer que f est constante. a) Montrer que f réalise une bijection de R vers ]−1, 1[. b) Déterminer, pour y ∈ ]−1, 1[ une expression de f −1 (y) analogue à celle de f (x)

𝑓′(𝑥) = 0. 4. Dresser le tableau de variation de 𝑓 et tracer son graphe. En déduire que 𝑓 est injective. 5. On désigne par 𝑓 la bijection de [−1,1] sur 𝑓([−1,1]) définie par 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥), pour tout 𝑥 ∈ [−1,1] et on désigne par 𝑓−1 sa bijection réciproque. Justifier l’existence et déterminer (𝑓−1) ′ (0). Allez à : Correction exercice 18 : Exercice 19 : Soit 𝑓:ℝ → ℝ la fonction définie par

la série Attention ! la réciproque est fausse. Preuve Puisque la suite des sommes partielles (Sn ) est convergente, de limite S, n→ + ∞ an est convergente, alors lim an = 0. n→+∞ lim Sn − Sn−1 = S − S = 0 = n→ + ∞ lim an . K ® Remarque Lorsque la suite (an ) ne tend pas vers zéro, on dit que la série an est grossièrement divergente. Il est bon de connaître l’exemple suivant, bien qu’il soit hors programme. Il montre en particulier que la réciproque du théorème précédent est

xi ; :::; xj ; :::xn ) = f (x1 ; :::; xj ; :::; xi ; :::xn )). Preuve : Remarques 1 : 1/ Dans un corps K (où 2 6= 0 comme Z=2Z); la réciproque de la propositon 1 est aussi vraie. 2/ Il y’a une autre manière de formuler la proposition 1, pour cela nous aurons besoin d’introduire quelques dé…nitions et notations. Notation : On note l’ensemble des bijections de [[1; n]] (où n 2 N ) dans lui même (appelées ensemble des Permutations de [[1; n]]) par Sn . 1 Exemples : 1/ Pour n = 1, S1 =