Bijection

limite d’une suite de nombres irrationnels. Un ensemble E ⊆ R est d´nombrable s’il existe une bijection entre e N et E, autrement dit, si les ´l´ments de E peuvent ˆtre rang´s dans une ee e e suite : E = {e1 , e2 , e3 , . . .}. Toute partie F ⊆ E d’un ensemble d´nombrable est d´nombrable ou finie. e e Exemple. Les entiers relatifs Z sont d´nombrables : e Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . .}. Formellement, une bijection possible φ : N → Z est donn´e par e   −n + 1 si n est impair, 2 φ(n) =  n si n est pair

(E ,≤), est appelé en- semble partiellement ordonné Soient [Davey et Priestley, 2002]. Q deux ensembles partiellement ordonnés. Nous disons que P et Q sont ordre-isomorphes, noté P ∼ Q, s'il existe une bijection f : P ⇒ Q et tel que : = et P x≤y La bijection dans P ⇔ f (x) ≤ f (y) dans Q. f est ainsi dite ordre-isomorphisme [Davey et Priestley, 2002]. [Ganter et Wille, 1999] Relation de couverture x, y deux éléments de Soient E un ensemble

0)(1, −1) ∞ = 3 . 2 2.1 Th´or`me des fonctions implicites, sous-vari´t´s e e e e n de R D´finition e Soient E et F deux espaces de Banach, U ⊂ E un ouvert et f ∈ C 1 (U, F ). On dit que f est un diff´omorphisme (sur son image) si f est une bijection e de U sur un ouvert V ⊂ F et si f −1 ∈ C 1 (V, E). On dit que f est un diff´omorphisme local en α ∈ E s’il existe un voisinage e ouvert U de α dans U tel que la restriction de f ` U soit un diff´omorphisme. a e 2.2 Remarque Pour que f soit

b−a 2x quand x tend vers + ∞. On en déduit que α = 1 et : lim x f (x) = x→+∞ b−a = 0. / 2 Exercice 7.12 : Développement limité d’une fonction réciproque 2 Pour x ∈ R on pose f (x) = xe x . 1. Montrer que f est une bijection de R dans R et que sa réciproque est de classe C ∞ . 2. Déterminer le développement limité à l’ordre 5 de f −1 en 0. On ne cherchera à aucun moment à déterminer explicitement f −1 . 171 9782100547678-Fresl-C7.qxd 5/07/10 9:22 Page

montre donc que sur [0, n], u atteint son minimum en n/2. On obtient donc |vn | ≥ n × 1 ≥ C > 0. (n/2 + 1)(n/2 + 1) Ainsi, vn ne tend pas vers 0 et le produit de Cauchy de ces deux séries ne converge pas. 3. Il est d’abord clair que σ est une bijection de N. En effet, tout nombre est ou bien pair, et donc de la forme 2p, ou bien impair, et ce sous cas se divise en congru à 1 modulo 4 ou congru à 3 modulo 4. Posons wn = uσ(3n) + uσ(3n+1) + uσ(3n+2) = √ de sorte que C wn ∼ √ n avec C < 0. Ainsi, la

sym´trique. e e D´montrez que la somme des coefficients de la ligne i est ´gale au degr´ du sommet i. e e e Soit m le nombre d’arˆtes du graphe G. Combien A(G) comportera-t-elle de coefficients non nuls? e En fait, il est ais´ de voir qu’il existe une bijection entre l’ensemble des matrices n × n ` coefficients dans {0; 1} et dont e a la diagonale est nulle et l’ensemble des graphes d’ordre n dont l’ensemble des sommets est {1, 2, 3, ..., n}. Combien existe-t-il alors de graphes ”diff´rents” d’ordre n? e b-

d(gof )a = dgf (a) o dfa . On peut aussi l’´ecrire matriciellement avec les jacobiennes : M J(gof )(a) = M Jg(f (a)) × M Jf (a). Exemple : calcul de d´eriv´ees partielles en polaire. Diff´ erentielle d’une application r´ eciproque : soit f une bijection de U ⊂ IRp → V ⊂ IRq telle que f soit diff´erentiable en a et f −1 diff´erentiable en f (a) alors −1 dff−1 et necessairement p = q. (a) = (dfa ) Matriciellement on a alors M Jf −1 = (M Jf )−1 impliquant entre autre 1 . det(M Jf −1 ) = det(M Jf )

code doit être attribué à une et une seule information. Autrement dit: - chaque code doit désigner un et un seul objet. - et chaque information doit être associé à un et un seul code.   42   Akhrouf mohamed© Cours systèmes d’information Bijection X X X X X X Exemple: Bon de commande, on peut choisir comme code Num_C numéro commande Num_C numéro client Dans ce cas on ne peut pas savoir laquelle des deux données (numéro commande ou numéro client) est désignée par Num_C. La solution serait

0 Notons au passage l’int´rˆt d’utiliser la fonction indicatrice 1{z≥x} pour ´viter de faire des ee e erreurs sur le domaine d’int´gration lors de l’´change des int´grales en x et en z. e e e 3.1.2 Changement de variables Soit ϕ une bijection continuement diff´rentiable ainsi que son inverse ϕ−1 d’un ouvert e e e O de Rd sur un ouvert O′ de Rd , f : Rd → R born´e et g : Rd → R int´grable. f (ϕ(x))g(x) dx = O O′ f (y)g(ϕ−1 (y)) |Jac ϕ−1 (y)| dy, o` u Jac ϕ−1 (y) = Det ∂(ϕ−1 )i (y)

0 Notons au passage l’int´rˆt d’utiliser la fonction indicatrice 1{z≥x} pour ´viter de faire des ee e erreurs sur le domaine d’int´gration lors de l’´change des int´grales en x et en z. e e e 3.1.2 Changement de variables Soit ϕ une bijection continuement diff´rentiable ainsi que son inverse ϕ−1 d’un ouvert e e e O de Rd sur un ouvert O′ de Rd , f : Rd → R born´e et g : Rd → R int´grable. f (ϕ(x))g(x) dx = O O′ f (y)g(ϕ−1 (y)) |Jac ϕ−1 (y)| dy, o` u Jac ϕ−1 (y) = Det ∂(ϕ−1 )i (y)