Bijection

Définition. Une application continue et bijective f telle que l’application réciproque f −1 soit aussi continue, est appellée un homéomorphisme. (En vertu du théorème 1 -4.6, ceci équivaut à dire que la bijection f est une application continue et ouverte.) On peut se demander si la continuité d’une bijection f entraîne automatiquement la continuité de f −1 . Or, ceci est faux : un contre-exemple est donnée en exercice ??. (b) Si f est continue et g est continue, alors g ◦ f est continue. 10 1. Continuité

élément de C∗ possède un inverse pour la loi × : ∀z ∈ C∗ , ∃z ′ ∈ C∗ | z × z ′ = z ′ × z = 1 1 −1 (Si z = x + iy alors z ′ = xx−iy ). 2 +y 2 = z = z (3) Soit E un ensemble et soit S(E) l’ensemble des bijections de E sur E, soit ◦ la loi de composition interne définie par la composition de deux bijections. Montrer à titre d’exercice que (S(E), ◦) est un groupe et qu’il est non abélien et E a au moins trois éléments. En particulier, pour n ∈ N, soit E = {1, . . . , n}. Alors S(E) est noté Sn . Sn est

d´erivable sur un intervalle ouvert I telle que {g(x) : x ∈ I} ⊂ J alors la fonction F = f ◦ g est d´erivable sur I et on a D(f ◦ g)(x) = (Df )(g(x)) Dg(x). • Fonction inverse : Soient I etJ deux intervalles ouverts de R. Si f : I → J est une bijection d´erivable telle que Df (x) = 0 pour tout x ∈ I alors la fonction inverse 1 , avec y = f −1 (x). f −1 : J → I est d´erivable sur J et on a Df −1 (x) = Df (y) 6.6 D´ eriv´ ees multiples La d´eriv´ee d’une fonction sur un intervalle ouvert I est

construire du jugement, en prenant un ex d’une pensée abstraite autotélique : jean Piaget_ la genèse de l’idée de nombre chez l’enfant. (L’idée de nbr c’est la connaissance de ce que sont les nbrs). Analyse de la correspondance terme à terme : notion de bijection et de cardinal de deux ensembles ? Les deux premières phases de l’observation, de réponses contraires, sont à expliquer par rapport à un même pt de vue à savoir que l’enfant de 4 ans ne comprend pas la question du nbr d’élément, de la quantité observée

compl`tement repr´sentable en machine parce que p´riodique ` partir d’un certain e e e a rang)? Comment passer d’une repr´sentation ` l’autre? e a Combinatoire. — C’est l’art de manipuler les structures de donn´es discr`tes. e e Exercice 4.4 i) Bijections N2 → N et ´criture explicite du couple de rang n. e ii) Arbre de Wilf iii) Fractions continues. 13 4.2.2 Exemples de sessions Interpr´teur (cf [3] p17). — e > c:= [1,2,3,u,v]; c := [1, 2, 3, u, v] > nops(c); 5 > op(4,c);

changement de variable t = sin x ramène donc au calcul précédant, et g a pour primitive G définie par G(x) = 2F (sin x) , pour x = −π/2 + 2kπ avec k ∈ Z. 36) a) La fonction f est définie sur l’intervalle I = [ 0, 1 [ . L’application t → sin2 t est une bijection de [ 0, π/2 [ sur I, et l’on a alors, si x est dans I, √ t = arcsin x . On suppose donc t dans [ 0, π/2 [ . Alors tan t est positive et f (sin2 t) = 1 1 − sin2 t 1 sin2 t 2 = cos2 t tan t . 1 − sin t On a aussi dx = 2 sin t cos

définie +∞ x 1 1 par : x x ∫ dt admet une limite finie en +∞, puis que l'intégrale I = ∫ dt est 2 0 1+ t2 1 1+ t convergente. + ∞ sin( t ) Quelle est la nature de l'intégrale ∫ dt ? 0 1+ t2 2°) Montrer que la fonction tan définit une bijection de ]−π /2, π/2 [ sur R. La réciproque de cette fonction est la fonction Arc tangente, notée Arctan. Etudier cette fonction : ensembles de départ et d'arrivée, continuité, sens de variations, limites. Tracer sa représentation graphique dans un repère

À l'usage des élèves de la classe * /  I G (Lecture déconseillée, en premier abords, aux élèves / ).. C 1 À la poursuite de celui qui détermine 1 I Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant

le coût de placement et la capacité de la coupe ? Que remarquez-vous ? 2)b) Réciproquement à un placement donné, associer une coupe G. Quelle est la relation entre le coût de placement et la capacité de la coupe ? Justifiez. En déduire qu'il y a bijection entre les coupes et les placements. 3) Pour l'exemple ci-dessus, déterminer par l'algorithme approprié vu en cours, la coupe minimale ; tracer celle-ci, en déduire le placement optimal. 4) Justifiez la polynormialité du problème avec p = 2 processeurs

variations 0 http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Fonction exponentielle 1/2 http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Fonction exponentielle 2/2 Puissances réelles Fonctions puissances Pour n ∈ IN , la fonction x ֏ xn est une bijection de ]0 ; +∞[ dans ]0 ; +∞[, c'est* Définition - Propriétés Les puissances réelles d'un nombre strictement positif a sont définies par : ax = ex ln a pour tout nombre réel x. Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tous réels x et