Bijection

−→ x−→0 • Puisque f est décroissante, f admet en +∞ une limite finie −→ ou la limite −∞, donc g(x) − − − ∞. x−→+∞ Ceci montre : f (x) − − 1. −→ x−→0 Comparer avec l’exercice 3.6 c). D’après un théorème du cours (théorème de la bijection monotone), on déduit que g admet un zéro et un seul, donc f admet un point fixe et un seul. 4.10 Soit x ∈ R . Puisque Q est dense dans R, pour tout n 1 1 de N∗ , il existe rn ∈ Q tel que x − < rn < x + . On a n n −→ donc : rn − − x . Comme

⎫ lim x2 = +∞ ⎪ ⎪ ⎪ x→+∞ ⎬ ⇒ lim x2 ex = +∞ x x→+∞ lim e = +∞ ⎪ ⎪ ⎪ x→+∞ ⎭ ⇒ lim g(x) = lim x2 ex − 1 = +∞ x→+∞ x→+∞ Ainsi 0 ∈ [g(0); lim g(x)[. De plus g est continue et strictement croissante sur [0 ; +∞[. Donc, x→+∞ d’après le théorème de bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), il existe un unique réel a appartenant à [0 ; +∞[ tel que g(a) = 0. À la calculatrice, g(0, 703) ≃ −0, 0018 donc g(0, 703) < 0, et g(0, 704) ≃ 0, 0020 donc g(0, 704) > 0. Donc 0, 703 < a < 0, 704

limit´ de la d´riv´e e e e e d’une application de classe C 1 . Existence d’un d´veloppement limit´ ` e ea l’ordre k pour une application de classe C k : formule de Taylor-Young. Th´or`me de rel`vement e e e L’application θ → eiθ d´finit une bijection continue de e ] − π, π[ sur U priv´ de −1, dont l’application r´ciproque e e u → Arg u est continue ; relation y Arg u = 2 Arctg o` u = x+iy, x2 + y 2 = 1, x = −1. u 1+x Th´or`me de rel`vement d’une application de classe C k ` e e e a valeurs dans

coups) ; par contre, on a une stratégie gagnante évidente pour deux gendarmes en les faisant tourner dans le sens contraire ; si besoin, on peut formaliser : on note A0, . . . , A7 les sommets du graphe numérotés dans le sens trigonométrique, f la bijection Ap 7−→ Ap+1 mod 8 et on définit la stratégie des gendarmes : • κi = (A1, A8)V ; • pour toute position des gendarmes (v, γ1, γ2)G, ψ((v, γ1, γ2)G) = (v, f(γ1), f−1(γ2))G qui est gagnante. Le graphe G(i) est donc dans C2 mais pas dans C1. G(ii) est

notant FW et FU les fonctions de répartition de W et U, on a, pour tout réel x : 1 FW (x) = P(W ≤ x) = P(– ln( 1 − U ) ≤ x) = P(ln( 1 − U ) ≥ −λ x ) = P( 1 − U ≥ e − λx ). λ La dernière égalité provient du fait que la fonction exponentielle est une bijection croissante de ℝ vers ] 0, +∞ [. On a donc : ∀x ∈ ℝ , FW (x) = P(U ≤ 1 − e − λx ) = FU ( 1 − e − λx ). La fonction exponentielle est à valeurs dans ] 0, +∞ [ donc : 1 − e − λx < 1. • Si x ≥ 0, alors, comme λ > 0 , on a : e − λx ≤ 1 et 1 − e − λx ≥

b2 . Il suffit de factoriser la différence. Supposons le résultat vrai jusqu’au rang n1.  Si (n) = n,  induit une permutation ’ de {1, 2, …, n1}. Par hypothèse de récurrence =  . Il reste à ajouter an.bn .  Si (n) = j < n,  induit une bijection de {1, 2, …, n1} sur {1, …, j1, j+1, …, n}. Appliquant l’hypothèse de récurrence au rang n1, il vient : a1.b(1) + ... + an-1.b(n-1)  a1.b1 + ... + aj-1.bj-1 + aj.bj+1 + ... + an-1.bn , et a1.b(1) + ... + an.b(n)  a1

lycée pour les nombres complexes (figure 1.4) : passage de la décomposition (module/argument) à la décomposition (partie réelle/partie imaginaire). ϕ: {(0, 0)} ∪ Ê∗ × [0, 2π[→ Ê2 + (ρ, θ) → (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ) Ceci définit exactement une bijection de l’ensemble de départ sur Ê2 tout entier. Pour le calcul d’intégrales doubles, on se restreint généralement à des ensembles plus petits mais ouverts sur lesquels ϕ définit exactement un C 1 -difféomorphisme (cf. chapitre 2). y ρ θ M x

e D´finition 1.5.12. Soit (X, T ) et (X , T ) deux espaces topologiques. On ape pelle hom´omorphisme toute bijection f de X sur X bicontinue, i.e. telle que e −1 f et f soient continues. Si f est un hom´omorphisme, l’image r´ciproque et l’image (puisque f (O) = e e −1 −1 (f ) (O)) de tout ouvert (resp. ferm´) est un ouvert (resp. ferm´). Ainsi un e e hom´omorphisme ´tablit une bijection entre O et O (resp. entre F et F ). e e Les hom´omorphismes sont les isomorphismes associ´s ` la structure ”espace

décompose d'une façon unique sur les n x= vi , c.à.d ∀x ∈ E ∃!(λ1 , ..., λn ) ∈ Kn tel que λi vi . i=1 Preuve : Proposition précédente. Proposition 3.4.4. : Soit B = {v1 , ..., vn } une base de E. Il existe alors une bijection : ϕB : −→ E n K n x= xi vi −→ (x1 , ..., xn ) i=1 Les scalaires xi sont dits composantes de x dans la base B = {v1 , ..., vn }. Exemple 3.4.2. : ` keme rang n 1) Base canonique de K , ↑ {ek = (0,

&#119895;−1(&#119905;&#119899;) + &#119862;&#119894;−1,&#119895;(&#119905;&#119899;) + &#119862;&#119894;+1,&#119895;(&#119905;&#119899;) + &#119862;&#119894;,&#119895;+1(&#119905;&#119899;) ) Pour alléger la double notation de chaque position, on recourt à la bijection suivante : (i, j)→k=i+ (j − 1)n avec n=le nombre de colonne=le nombre de ligne et N le nombre de position de la grille, on obtient l’équation suivante : 2(1 + 2&#120572;)&#119862;&#119896;(&#119905;&#119899;+1) − &#120572;(&#119862;&#119896;−1(&#119905;&#119899;+1)