Bijection

les compteurs étaient représentés deux fois : une fois dans la base CP et une fois dans la base de Gestion des Ventes. Encore faut-il préciser que les compteurs relevés n’étaient pas tous loués et réciproquement. Par conséquent il n’avait pas de bijection entre l’ensemble des compteurs Métamorphose d’un système d’information 57 relevés et l’ensemble des compteurs loués d’une famille de contrats. Si l’on regroupait les contrats d’une famille en un seul contrat il fallait le faire en se pliant

cardinal de G. e Propri´t´ 4. (Lagrange) Dans un groupe fini ab´lien (G, ∗, e) de cardinal n, e e pour tout x ∈ G : xn = e. Preuve. Soit a un ´l´ment du groupe G, alors a est inversible. Donc, l’appliee cation fa : x → a×x d´finie de G dans G est une bijection. Donc Im(fa ) = G ; e d’o` y∈Im(fa ) y = x∈G x. Or y∈Im(fa ) y = x∈G a × x = an x∈G x (comu u P mutativit´ de ×). Ainsi an x∈G x = x∈G x, d’o` an = e. e Anneaux Un anneau (A, +, ×) est un ensemble muni de deux op´rateurs binaires internes e v´rifiant

− a Z b f (x)g(x)dx. Z a Exemple 10.2.1 Calculer xe dx, x Z 0 π Ă x − 1 cos xdx et 2 Ł ex cos xdx. 10.2.2 Changement de variables Th´or`me 10.2.2 Si f est continue sur [a,b] et si ϕ est une bijection d´rivable, de d´riv´e e e e e e continue de [α,β] sur [a,b] et telle que ϕ(α) = a et ϕ(β) = b. Alors Z b f (x)dx = Z β f ϕ(t) ϕ (t)dt. Ă Ł a α Exemple 10.2.2 Calculer Z 1 È 1 − x2 dx. −1 10.2.3 Int´gration

que a1 + a2 + a3 > 10 ⇔ (7 − a1 ) + (7 − a2 ) + (7 − a3 ) ≤ 10. Ainsi, si A désigne l’événement "la somme des points obtenus est strictement supérieure à 10", nous remarquons que l’application (a1 , a2 , a3 ) → (7 − a1 , 7 − a2 , 7 − a3 ) est une bijection de A sur Ac . Les événements A et Ac ont donc même cardinal, et donc même probabilité de réalisation. Une difficulté majeure dans ce style de E C combinatoire est de bien préciser le T calcul modèle probabiliste. De célèbresO LY paradoxes sont nés

d’erreur, not´ee erf, qui est d´efinie par : 8x 2 R, erf(x) = 2 p Z x 0 exp(−t2)dt qui est donc une fonction r´eguli`ere, impaire, strictement croissante et tendant vers 1 `a l’infini. SCILAB dispose aussi de la fonction erfinv qui est la bijection r´eciproque de erf. Un calcul ´el´ementaire montre que  peut s’exprimer `a l’aide de erf et que plus pr´ecis´ement : (x) = 1 2 (1 + erf(x/p2)). 4.3. TH´EOR`EMES LIMITES EN CALCUL DES PROBABILIT ´ ES. 69 Rappelons que l’on peut simuler une

propriétés ; – relations d’équivalence, relations d’ordre. • Traiter un exemple où les Application f d'un ensemble E dans un ensemble F : – définition ; – image d’une partie A de E; – image réciproque d’une partie B de F. Injection, surjection, bijection. COMMENTAIRES Les exemples utilisés sont choisis principalement en liaison avec l’enseignement de l’informatique. On généralise au cas du produit cartésien de n ensembles finis. contraintes se traduisent en termes de relation d’ordre ou d’équivalence

illustrer la limite d'une fonction en un point et à l'infini définir et déterminer la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle calculer des limites de fonctions définir et déterminer les asymptotes d'une fonction Dérivées définir une bijection et une fonction réciproque et utiliser la conséquence graphique définir et déterminer la dérivabilité d'une fonction en un point et sur un intervalle et interpréter graphiquement les éléments intervenant dans la définition de la dérivée énoncer et

de bijection ou bien de façon plus génétique. À ce grand monde qu’est l’univers correspond le petit monde qu’est l’homme. Ce binôme n’est pas une idée née à la Renaissance mais c’est certainement à la Renaissance que cela a connu son plus grand essor. Cela est diversement développé chez Pic de la Mirandole (15e), chez Marsile Ficin, chez Nicolas de Cues (mort en 1464), chez Paracelse (un contemporain de Rabelais et aussi médecin suisse qui écrit en allemand). Ce dernier propose une bijection rigoureuse :

sensibilit´s qui sont des param`tres de gestions importants sont aussi e e obtenues de mani`re explicite. e 51 Introduction aux math´matiques financi`res e e 6.3.2 Volatilit´s historiques et implicites, smile de volatilit´s e e Grˆce ` la bijection qu’il r´alise entre le prix d’une option et la volatilit´, a a e e on a une autre utilisation importante du mod`le de Black et Scholes : si l’on e connait la prime d’une option, on peut, par inversion de la formule, en d´duire e la volatilit´ du

  x   x La fonction h est dérivable sur chacun des intervalles ,0 et 0, et h '  x    '  x   1  0 pour tout réel x non nul. La fonction h est continue et strictement décroissante sur ,0 (resp 0, ) donc elle réalise une bijection de ,0 (resp 0, ) sur h  , 0   (resp h  0,    ), 0 donc il existe un unique réel   , 0 (resp  0,  ) tel que h     0        (resp h   0       ). On en déduit que l’équation   x   x admet