Caractéristiques Formelles

est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format (p, q) et B une matrice de format (q, p). Comparer les polynômes caractéristiques de AB et BA. 1 Correction [005656] Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction [005657]

qu’elles sont ces caractéristiques, qu’elle est son avantage et qu’elle est alors son inconvénient. I. Présentation. Un câble paires torsadées décrit un modèle de câblage où une ligne de transmission est formée de deux conducteurs enroulés en hélice l'un autour de l'autre, cette configuration à pour but de maintenir précisément la distance entre les fils et de diminuer la diaphonie. Le maintien de la distance entre fils de paire permet de définir une impédance caractéristique de la paire, afin

système homogène : c’est-à-dire : Trouver des solutions X = (x,y,z) autres que le vecteur nul (0,0,0) suppose que la matrice : Chercher les valeurs propres de A revient donc à résoudre l’équation dite caractéristique suivante : On appellera polynôme caractéristique de la matrice A :  ; Exemple 1: Exemple 2:De manière générale : On peut montrer facilement que : 1) Pour une matrice d’ordre 2 : 2) Pour une matrice d’ordre 3 : 3) Recherche des vecteurs propres :

Radio/télévision LEXIQUE Afin de parfaire vos connaissances dans le domaine des câbles coaxiaux, AXON’ vous propose un petit lexique : IMPEDANCE CARACTERISTIQUE Terme représentant le rapport entre la tension et le courant dans un câble d’une longueur infinie ; dans le cas des câbles coaxiaux, on trouve trois classes principales d’impédances caractéristiques : 50 Ω, 75 Ω et 95 Ω. 138,2 D zc=——— • Log10 — exprimé en Ω ∊ √‾ d CAPACITE Propriété du câble coaxial de stocker des charges électriques

conducteurs enroulés en hélice l’un autour de l’autre. Cette configuration a pour but de maintenir précisément la distance entre les fils et de diminuer la diaphonie. Le maintien de la distance entre fils de paire permet de définir une impédance caractéristique de la paire, afin de supprimer les réflexions de signaux aux raccords et en bout de ligne. Les contraintes géométriques (épaisseur de l’isolant/diamètre du fil) maintiennent cette impédance autour de 100 ohms : -100 ohms pour les réseaux Ethernet

est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A = 1 2 x 0 − 2 1 0 x = det 1−x 2 2 1−x = (1 − x)2 − 2 · 2 = x2 − 2x − 3. 2. Valeurs propres de A : ce sont les racines de pA (x) : ici √ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ± 1 + 3, donc nous avons

équations aux dérivées partielles 5.1 Rappels et mise en garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 EDP linéaires d’ordre 1 à coefficients constants . . . . . . 5.3 EDP linéaire d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 EDP linéaires d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Cas des coefficients constants, sans second membre . . . . . . . . . . . . .

EPREUVE COMMUNE de MATHEMATIQUES CORRIGE PARTIE I 1°) a) Comme a(e1)=e2 et a2(e1)= e3 la famille (e1, a(e1), a2(e1)) est une base de E et a est cyclique. • Le polynôme caractéristique de A est : -(x-1)(x-2)(x-3). • ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ Ker (A-I3)=Vect ⎜ − 5 ⎟ , Ker (A-2I3)= Vect ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 4 ⎟ , Ker (A-3I3)=Vect ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 4 ⎟ et ⎜ − 3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ La matrice de passage de la base (e1, e2, e3) à la base des

fonction de Dk , puis calculer M k . Correction [002580] 1 2 Partiel Exercice 4 Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est   −3 −2 −2 1 2 A= 2 3 3 2 1. Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de A. 2. Démontrer que les valeurs propres de A sont −1 et 2. Déterminer les sous-espaces propres associés. 3. Démontrer que A est diagonalisable et donner une base de R3 dans laquelle la matrice de u est diagonale. 4. Trouver une matrice P

polynôme caractéristique de cette matrice en calculant son déterminant : det(M (x∗ , y ∗ ) − rI) = (a11 − r)(a22 − r) − a12 a21 = r 2 − (a11 + a22 )r + (a11 a22 − a12 a21 ). Ce polynôme du second degré admet deux racines négatives (ou a partie réelle négative) si et seulement si : (1) det(M ) = (a11 a22 − a12 a21 ) > 0 (2) tr(M ) = (a11 + a22 ) < 0 Ces deux conditions garantissent la stabilité de l’équilibre stationnaire (x∗ , y ∗ ). Le signe du déterminant de l’équation caractéristique permet de