Cercle circonscrit

développement de la trigonométrie dans l’antiquité. Parmi les premiers astronomes, on trouve d’abord le grec Hipparque, qui a vécu au 2e siècle av. J.-C. Il est le premier à avoir associé une longueur à un angle : il s’agit de la corde de l’angle dans un cercle de rayon fixé. Quatre siècles plus tard vient l’astronome et mathématicien Ptolémée, l’auteur d’un énorme traité d’astronomie en 13 volumes que les arabes ont respectueusement nommé l’Almageste1. Il calcule les cordes correspondant aux angles de

 0 Donc :  OB +  OC = 2 OA ' 2)  OB +  OH =  OA +  OC =  OA + 2 OA '   Or, OH = OA +  AH (relation de Chasles)   D'où : OA + AH =  OA + 2 OA ' Donc :  AH = 2 OA ' 3) A' milieu de [BC] O centre du cercle circonscrit au triangle ABC O : point de concours des médiatrices de ABC. D'où : (OA') est une médiatrice du triangle ABC Or, par définition, on sait que la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment en son milieu. Alors, (OA') ⊥ (BC)

coordonnées respectives ( 3 ; 4 ) , ( - 2 ; 3 ) , ( 3 ; - 2 ) et ( 1 ; 1 ). Montrer que A , B et C sont sur un même cercle de centre M. Remarque : Cocycliques Des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle. Deux points sont toujours cocycliques. Trois points non alignés sont cocycliques ( le centre du cercle étant le centre du cercle circonscrit au triangle formé par ces trois points ) Calcul de MA : MA² = ( 3 - 1 )² + ( 4 - 1 )² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13 donc

M est situé sur le cercle de centre A(2, 5) et de rayon , son affixe z vérifie : a) |z – 2 + 5i|2 = 3 b) |z + 2 – 5i|2 = 3 c) |z – 2 + 5i| = 3 2) On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distinct et tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixes z est telle que les nombres complexes et sont imaginaires purs. a) M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. b) M appartient aux cercles de diamètres respectifs

Remarquons d'abord que les point P, Q et R sont situés sur le cercle unité (c'est à dire |p|=|q|=|r|=1). En effet, on a: |p|=||a|/a|=|a|/|a|=1 et de même |q|=1 et |r|=1. Soit H le point d'affixe h=p+q+r. Montrons que H est l'orthocentre du triangle PQR. En effet, la définition de H par son affixe s'écrit h-r=p+q. En notant Q' le point d'affixe -q, Il vient l'égalité vectorielle H-R=P-Q'. Or Q' est le point du cercle unité diamétralement opposé à Q, donc le triangle PQQ' est rectangle

rectangle en N tel que MN = 7,5 cm et MON = 30°. 2. Calcule NO et MO. 3. Soit I le pied de la hauteur issue de N, calcule NI. 4. La droite passant par M et parallèle à la droite (NI) coupe la droite (ON) en T. Calcule MT. 5. Soit E le centre du cercle circonscrit au triangle MOT ; démontre que MET est un triangle équilatéral. Exercice 4 0,5 pt 1 pt 1 pt 1 pt 1 pt 1 pt 4 points 2  −3  0  , B  2  et C  7  .  −1      Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O

milieu de [BC], d'où : A ' B 0 A'C Donc :  +  = 2 OB OC OA ' 2)  =  +  +  OB OH OA OC =  + 2 OA OA '  =  +  (relation de Chasles) Or, OH OA AH  +  =  + 2 D'où : OA AH OA OA ' Donc :  = 2 AH OA ' 3) A' milieu de [BC] O centre du cercle circonscrit au triangle ABC O : point de concours des médiatrices de ABC. D'où : (OA') est une médiatrice du triangle ABC Or, par définition, on sait que la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment en son milieu. Alors, (OA') ⊥ (BC) Comme

  Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0;u, v). On considère la suite (n ) de nombres réels définie par o  n+1  n   et pour tout entier naturel n, 2 5 . Pour tout entier naturel n , on appelle Mn le point du cercle C de centre 6    O et de rayon 1 tel que l'angle u,OMn ait pour mesure n .   1.Placez les douze points Mo ,M1 ,M2 ,...,M11 . 2.On appelle zn l'affixe de Mn .   5n  i   e2 6  Montrer que pour tout entier naturel n ,

JJJG JJJG JJJG Déterminer, par lecture graphique, les produits scalaires : AB ⋅ AC ; BA ⋅ DB , AB ⋅ AE et AB ⋅ DE Exercice n°3. (correction) ABC est un triangle équilatéral de côté a H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG Exprimer en fonction de a les produits scalaires suivants : AB ⋅ AC ; AC ⋅ CB , AB ⋅ AH , AH ⋅ BC et OA ⋅ OB Exercice n°4. (correction) G G u et v sont deux vecteurs de même norme. G

géographe grec qui vécut au II ème siècle de notre ère (Encyclopédie ou Internet pour tout connaître sur sa biographie). Il découvrit et démontra le théorème suivant : Si un quadrilatère est inscrit dans un cercle (c'est à dire que ses quatre sommets appartiennent à un même cercle) alors la somme des produits des longueurs de ses côtés opposés est égale au produit des longueurs de ses diagonales Dans un repère orthonormé (O,I,J) , on considère le quadrilatère ABCD où A ( 2 ; 4) , B ( - 2