Cercle d'Euler

µ  · ´ÇÅ   µ  ÇÈ Ü Ê ´Þ µ Ó× ÇÉ Ý ÁÑ´Þ µ ×Ò Ôܾ · ݾ ÇÅ Þ   · Ý  Ú Ø Ò ×Ò Ó× , ¾ · ½ · Ø Ò¾ ½ Ó×¾ 1.3.1 Ó× Formules d’Euler e · e  ¾ ×Ò e   e  ¾ θ u Op´rations alg´briques e e P 1.3.2 Cercle trigonom´trique e Les formules ci-dessous doivent pouvoir ˆtre retrouv´es rapidement par lecture sur le cercle trigonom´trique : e e e π/2+x ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ π/2−x Ó×´ × Ò´ Þ Þ Ü Ý ÞÞ Ü Ý Ü ¼ ¼ · ´ · µ · ´Ü · Ý µ ´Ü · Ü µ · ´Ý · Ý µ ´ · µ´ · Ý

Rappels de trigonometrie Radians et cercle trigonom´trique e Le radian est une unit´ de mesure d’angle (orient´) e e d´finie par le fait que la mesure d’un angle plat est e π radians. Un angle droit par exemple mesure ±π 2 radians. 5π 6 2π 3 3π 4 π 2 π 3 π 4 π 6 On appelle cercle trigonom´trique le cercle centr´ e e en l’origine de rayon 1. La circonf´rence de ce cercle e mesure 2π. Pour repr´senter un angle de x radians, on e consid`re un arc de cercle de longueur x orient´ e e dans le

circuit pour t = 0. Justifier. 7-Déterminer la valeur de l'intensité i dans le circuit pour t > 5 Τ. Justifier. 8-Montrer que :dUC/dt = 104 (5-UC) ( relation (1) ). 9-Pour vérifier la relation (1),  on va tracer uc(t) en appliquant la méthode d'Euler. On a :UC(ti+1) = UC (ti) + (dUC/dt)ti . Δt  avec Δt=ti+1-ti      Dt étant le pas du calcul. Ici Δt = 5.10-5 s. Exemples : UC(5.10-5) = UC(0) + (dUC/dt)t=0.Δt = 0 + 104.(5-0).5.10-5= 2,5V UC(10.10-5) = UC(5.10-5) + (dUC/dt)t=5.10-5.Δt = 2,5 +

Approximation de e par la méthode d'Euler On va construire une suite de points Mn(xn, yn) tels que les yn soient des approximations de exp(xn). Pour choisir les valeurs de xn on utilise un pas h et on part de 0. La suite xn sera donc une suite arithmétique de raison h et de premier terme x0 = 0, et on aura xn = nh. Pour définir la suite yn on utilise une approximation affine : exp(xn+1) = exp(xn + h) exp(xn) + h.exp(xn) = exp(xn)(1 + h). La méthode d'Euler consiste à confondre yn et les approximations

donc on pose [pic]= 0 mais 0 n’a pas d’argument. • Si z est réel, alors son module est sa valeur absolue. • [pic] • [pic] Exemples : [pic] ; [pic] ; [pic]. [pic]. [pic]. [pic] [pic] alors [pic] et [pic]. Donc M est un point du cercle trigonométrique. Théorème : Pour tout nombre complexe z non nul dont l’image M a pour coordonnées cartésiennes (x ; y) et pour coordonnées polaires (r ; [pic]), on a : [pic] Forme algébrique : [pic] Forme trigonométrique : [pic] Exemple :

6i. zE=1+6i . c. Le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC est FA = |zA − zF | = | − 5 + 6i + 2 − i| = | − 3 + 5i| = 34. FE = |zE − zF | = |1 + 6i + 2 − i| = |3 + 5i| = 34. FE=FA donc E appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. (Remarque : H est en fait l’orthocentre du triangle ABC et on a vérifié une propriété générale dans un triangle disant que le symétrique de l’orthocentre d’un triangle par rapport à un côté de ce triangle appartient au cercle circonscrit ) zA + zC −5 + 6i +

usuelle, inégalité trian1 gulaire et cas d’égalité, disques ouverts et fermés. 2 - Argument, propriétés. Module et argument de z → z . 3 - Exponentielles complexes, groupe U et morphisme t → e it , morphisme z → e z . 4 - Formules de Moivre et n d’Euler. Applications : linéarisation, transformation de somme en produit, calcul de cos(nx), sin(nx), k=0 n cos(kx) et k=0 sin(kx). C) Racines des nombres complexes 1 - Racines n-ièmes de l’unité, propriétés élémentaires de ces racines, équation

1S1 – Corrigé DM10 A. La droite d'Euler d'un triangle 1. Faire une figure soignée Le dessin peut être fait avec Sine qua non [pic] 2. Soit h l'homothétie de centre G qui transforme A en A'. a) On sait que le centre de gravité d'un triangle est situé aux deux-tiers de la médiane. Plus précisément, si A' est le milieu de [BC] alors on a : =. On en déduit : 3=2 Donc : 3=2+2 Donc : =2 Finalement : =-)). Donc

Modélisation d’une situation géométrique 8 13.  Sujet 019 : Spécialité, Cryptographie 9 14.  Sujet 021 : Equation différentielle et méthode d’Euler 11 15.  Sujet 025 : Suite définie par récurrence 12 16.  Sujet 026 : Barycentre 12 17.  Sujet 027 : Triangle d’aire maximale 13 18.  Sujet 029 : Spécialité, PGCD 13 19.  Sujet 030 : Spécialité, famille de cercles 14 20.  Sujet 031 : Tangentes à une parabole 14 21.  Sujet 035 : Demi-vie 15 22.  Sujet 043 : Etude d’une courbe 16 23.  Sujet

æ du ö La méthode d'Euler permet de calculer, pas à pas, les valeurs de uC et de ç C ÷ à intervalles de è dt ø temps réguliers choisis Dt. Si Dt est considéré comme suffisamment petit dans le cadre de l'expérience, on peut écrire : æ du ö uC(t + Dt) = uC(t) + ç C ÷ ×Dt . On choisit Dt = 1 ms. è dt øt a) A l'aide de l'équation différentielle établie à la question 2.1., déterminer la valeur initiale de la æ du ö dérivée notée : ç C ÷ . è dt ø0 b) En appliquant la méthode d'Euler, compléter le tableau