Cercle d'Euler

consiste à utiliser la linéarité pour séparer l'intégrale d'une somme en une somme d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes. On peut aussi intégrer des polynômes en et , ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons

 initiale de la fraction 2 10 x 12 x20 x3 3 x5 Exercice : Simplifier  2 ,    2   et   x 3 x−4 x – 3x−40 x3 – 8 Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques Révisions Trigonométrie cos x = e e 2 ix −ix Formules d'Euler : eix −e−ix sin x= 2i et    Formules toujours utiles à connaître :  sin ab=sin a cos bsin b cos a cos  ab=cos a cos b−sin asin b 3 2 Exercices : Linéariser   A=cos x   et   B=cos x sin x Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques

d’affixe z (z différent de 1) et M ′ celui d’affixe z ′ (z ′ différent de i). ′ Montrer que OM = M ′ C où C et D sont les points d’affixes respectives 2 et i. MD z′ − 2 . On pourra commencer par calculer ′ z −i c) Montrer que, lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image M ′ appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement. d) Montrer que, si M est un point de l’axe des réels d’affixe a ∈ , différent de O et de A, alors M ′ appartient à la droite (CD)

24 24 25 25 26 27 27 29 30 32 32 33 36 36 37 38 40 40 41 42 44 1 Trigonom´trie e [Th`me) Le cercle trigonom´trique] . . . . . . . . . . . . e e 1. Abscisses curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Rapports trigonom´triques . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1. D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2. Les fonctions trigonom´triques . . . . . . . . . e [Exercices) Le cercle trigonom´trique comme rapporteur] e [Dm no 10) D´riv´es des fonctions trigonom´triques] . . . e

1 − cos(2x) + + cos(4x) dx 4 2 8 8 π 2 = = 3x 1 1 − sin(2x) + sin(4x) 8 4 32 3π 16 0 Cette méthode est un peu (trop) longue, et risquée, et demande une bonne mémoire de la 1ère ! (2) la meilleure, linéariser avec l'aide des formules d'Euler : sin4 x = = eix − e−ix 2i 1 4ix (e − 4e2ix + 6 − 4e−2ix + e−4ix ) 16 1 4 QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2 (on a utilisé la formule du binôme de Newton avec les coecients de la 4e ligne du triangle

 Résolutions  numériques  d'équations   différentielles                   Logiciel  de  calcul  utilisé:  Scilab  5.1       I  Utilisation  de  la  méthode  d'Euler.               C'est   une   méthode   numérique   nommée   ainsi   en   référence   au   mathématicien  Leonhard  Euler  qui  sert  à  résoudre  des  équations  différentielles

terminal via des coordonnées cartésiennes (3 longueurs), cylindriques (2 longueurs + 1 angle) ou sphériques (1 longueur + 2 angles). ii.    Il existe différentes possibilités pour définir l'orientation de l'organe terminal : Les angles d'Euler, D'autres types d'angles (Bryant, …), Les cosinus directeurs. Leur utilisation revient à considérer l'ensemble des projections des vecteurs unités portés par les axes du repère 1?, sur les axes du repère 0? (repères orthonormés). Il en résulte

tan(a) = sin(2a) / (1 + cos(2a)) = (1 - cos(2a)) / sin(2a) En posant t = tan(a/2) :  sin(a) = 2t / (1 + t²) cos(a) = (1 - t²) / (1 + t²) tan(a) = 2t / (1 - t²) Formule de Moivre ( cos(a) + isin(a))n = cos(na) + isin(na) Formules d'Euler cos θ = 1/2.(eiθ + e-iθ) sin θ = 1/(2i).(eiθ - e-iθ)

couleur, de l’épaisseur et du style d’une famille de fonctions 30 Schémas (figures géométriques planes) 31 Définir un point 32 Définir un segment 33 Définir un vecteur 35 Définir une droite 35 Définir une demi-droite 36 Définir un cercle 37 Définir une ellipse 37 Définir un carré 38 Polygones prédéfinis 39 Autres polygones 39 Courbes de Bézier 40 Textes 41 Ajouter un texte 41 Modifier ou supprimer un texte 41 Déplacer un texte 42 Attributs d’un texte 42

à l’aide de deux cercles. D D A B A B C Rosace Motif 1. Dans le motif ci-dessus, quelle est la mesure de l’angle formé par les tangentes aux cercles issues de A? 2. a. Montrer que AB = BC. b. Comment le rayon du plus grand des deux cercles s’exprime-t-il en fonction du rayon du plus petit des deux cercles ? c. D’après ses plans, l’architecte souhaite inscrire sa rosace dans un disque de rayon 3 3. Comment doit-il alors choisir le rayon de chacun des cercles du motif ? 4. On