Cercle d'Euler

:------------------------------------------------- Puissances des fonctions trigonométriques.sin² (x) = 1/2 - (cos (2x))/2cos² (x) = 1/2 + (cos (2x))/2On retrouve facilement les autres puisances des fonctions trigonométriques en applicant les formules d'Euler : et  où i² = -1On élève le deuxième membre à la puissance désirée, on développe à l'aide de la formule du binôme de Newton et on fait les regroupements pour obtenir des sommes de sinus et de cosinus.Exemple :On veut linéariser la puissance quatrième

paramétrage du système et réaliser les figures planes illustrant les 3 paramètres d’orientations. Question 2 : En déduire sous chaque figure, le vecteur rotation traduisant le mouvement. Question 3 : Les 3 angles d’orientations sont-ils les angles d’Euler ? Exercice 2 : REGULATEUR DE WATT Le régulateur de Watt a pour but de maintenir constante la vitesse de rotation  d’une turbine à vapeur. La commande d’admission de vapeur dans la turbine est contrôlée par un robinet. Quand la vitesse de rotation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.2 Méthode d'Euler (explicite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.3 Méthode d'Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.4 Schéma de CrankNicholson et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.5 Méthode d'Euler améliorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.6 Méthode du

uniquement sur 2iπZ. 457 458 23.1.2 Le nombre π Le lien avec le nombre π des géomètres Théorème 23.6 La fonction t → eit réalise une surjection de R sur le cercle unité du plan euclidien. Le cercle unité du plan euclidien peut être paramétré par : t → (cos (t) , sin (t)) Théorème 23.7 Le périmètre du cercle unité du plan euclidien vaut 2π. 23.2 La fonction arc-tangente comme primitive de 1 1 + x2 On propose ici une autre présentation du nombre π. On désigne par f

proposés des démonstrations de géométrie pur de résultats classiques 1. n Droite d’Euler On considère un triangle ABC, montrer l’alignement de l’orthocentre H, du centre de gravité G et du centre O du cercle circonscrit au triangle ABC. On pourra considérer le point D diamétralement opposé au point B, et B’ le milieu de [AC]. 2. n Symétrique de l’orthocentre On considère un triangle ABC. Soit O le centre du cercle C circonscrit à ABC et H son orthocentre. On se propose de démontrer que les symétriques

de l’angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente C OMMENTAIRES La définition du cosinus a été vue en quatrième. Le sinus et la tangente d’un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à partir du quart de cercle trigonométrique. On établira les formules : sin cos2 x +sin2 x = 1 et tan x = cosx . x On n’utilisera pas d’autre unité que le degré décimal. 1 Relations trigonométriques Définition : Soit ABC un triangle rectangle en A ; on notera α l’angle

R ; * Q est plus près de [MR] que de [MS] ; * Q est à plus de 1,5cm de (RM). Faire apparaître vos constructions et les expliquer. Exercice n°1 : Exercice n°2 : Droite d’Euler d’un triangle. Soit ABC un triangle, A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle. 1. Soit H le point du plan défini par : OH=OA+OB+OC. a) Placer H sur la figure. b) Montrer que : OB+OC=2OA'. c) En déduire AH en fonction de OA'. d)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Équations cartésiennes d’une droite ou d’un cercle 8.1 Équations cartésiennes d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Seconde Corrigé du devoir maison : Droite d'Euler Janvier 2009 Figure de l'énoncé A) Caractérisation vectorielle de l'orthocentre :  OB +  OH =  OA +  OC 1)  OB +  OC =  OA ' +  A'B +  OA ' +  A ' C (d'après la relation de Chasles)   Or, A' est le milieu de [BC], d'où : A ' B + A ' C =  0 Donc :  OB +  OC = 2 OA ' 2)  OB +  OH =  OA +  OC =  OA + 2 OA '   Or, OH = OA +  AH (relation de Chasles)   D'où : OA + AH =  OA + 2

: Droite d'Euler Figure de l'énoncé Janvier 2009 A) Caractérisation vectorielle de l'orthocentre :  =  +  +  OB OH OA OC 1)  +  =  +  +  +  (d'après la relation de Chasles) OB OC OA ' A'B OA ' A'C  +  =  Or, A' est le milieu de [BC], d'où : A ' B 0 A'C Donc :  +  = 2 OB OC OA ' 2)  =  +  +  OB OH OA OC =  + 2 OA OA '  =  +  (relation de Chasles) Or, OH OA AH  +  =  + 2 D'où : OA AH OA OA ' Donc :  = 2 AH OA ' 3) A' milieu de [BC] O centre du cercle circonscrit