Cercle et Carré

intuitivement ou démonstrativement certaine. Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, cette proposition exprime une relation entre ces figures. Trois fois cinq est égal à la moitié de trente exprime une relation entre ces nombres. Les propositions de ce genre, on peut les découvrir par la seule opération de la pensée, sans dépendre de rien de ce qui existe dans l’univers. Même s’il n’y avait jamais eu de cercle ou de carré dans la nature, les vérités démontrées par

premières unités de mesure. Le degré, noté 1 , est défini comme étant la mesure de l’angle au centre interceptant un arc de cercle de longueur égale à 1 360 de la circonférence du cercle ; 1 correspond donc à 1 360 de rotation complète. L’origine de cette mesure d’angle est ancienne et remonte aux Sumériens (2’700 à 1’700 avant J.-C.). Le peuple Sumer choisit la 360e partie du cercle pour des raisons qui tiennent à la fois à la durée de l’année et à leur système de numération de base 60. La notation sexagésimale

bras et quatre jambes inscrit dans un cercle et un carré) représentant les proportions du corps humain selon les canons de l’architecte romain Vitruve du IIe siècle après J.C., auteur d'un célèbre traité d'architecture, De Architectura (en français Au sujet de l'Architecture), écrit à la fin de sa vie (14 av. J.C.), et qu'il dédia à l'empereur Auguste. Les figures géométriques considérées comme parfaites sont le carré et le cercle, aussi la quadrature du cercle a été tentée de très nombreuses fois

du Soleil. 2)- Les lois de Kepler. a)- Première loi : la loi des trajectoires - Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers. - Remarque : le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus avec le centre. - Définition d’une ellipse : une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ (les foyers) est une constante : -

184 GÉOMÉTRIE 2 Repérage dans le plan Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre ◮ Soustraire des nombres relatifs ◮ Utiliser le théorème de Pythagore ◮ Calculer une distance entre deux points sur un axe ◮ Calculer avec des racines carrées ◮ Utiliser les théorèmes des droites des milieux ◮ Reconnaître un triangle ou un quadrilatère particulier Des ressources numériques pour préparer le chapitre sur manuel.sesamath.net Auto-évaluation Calculer : C Calculer les distances : AB ; AC ;

TABLEAU N°1 : Ce tableau se place dans le courant du constructivisme. Le constructivisme est un courant qui se développe vers 1913 sur la base du Cubisme et du Futurisme. Il consiste à utiliser exclusivement des éléments géométriques comme le cercle, le rectangle ou la ligne droite. Cette peinture abstraite est créer par l'artiste Piet Mondrian elle s'intitule Composition A et a été réalisé en 1923. Elle se compose essentiellement de ligne droite formant des éléments carrés et rectangles. Mondrian

7.5 Quadrilatères particuliers . . . . . . . . . . 7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Devoir surveillé n°8 : Configurations du plan 8 Fonction carrée Fonctions trinômes 8.1 Activité . . . . . . . . . . . 8.2 Fonction carrée . . . . . . 8.3 Fonctions trinômes . . . . 8.4 Exercices . . . . . . . . . . 8.4.1 Fonction carrée . . 8.4.2 Fonctions trinômes 8.4.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Racines carrées 1. Test de démarrage 1 Réponse c : l’opposé de 5 est – 5 ; 1 est l’inverse de 5. 5 2 Réponse c : 64 est le carré de 8. 3 Réponse b : (– 3)2 = – 3 × (– 3) = 9 ; – 6 est le double de – 3. 2 4 Réponse a : 5 = 5 × 5 = 25 . 3 3 3 9 ΂ ΃ 5 Réponse a : on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications. Donc 6 × 32 = 6 × 9 = 54. 6 Réponse b : BC ≈ 11,2 cm ; la touche 1 de la calcu- latrice permet d’obtenir 11,180 339 89 mais ce n’est pas

affixe z . D’où M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, z = [pic]ou z[pic][pic]= 4 . Or z[pic][pic] représente le module de z au carré (avec z = a + ib , z[pic][pic]= (a + ib)(a – ib) = a2 + b2 ) Donc M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, [pic]2 = 4 ou [pic]= 2 . Conclusion : L’ensemble des points invariants par f est le cercle de centre O et de rayon 2 . 2) Déterminer l’ensemble des points dont l’image par l’application f est le point J d’affixe 1 . Si z’ = 1 alors

< 0  Si BAĈ est droit alors cos Ө = 0, d’où u⃗ . v⃗ = 0 Exemple : ABCD carré de centre O. et de côté 𝑎. Exprimer en fonction de 𝑎, AB⃗⃗⃗⃗ ⃗. AC⃗⃗⃗⃗ ⃗, B0⃗⃗⃗⃗ ⃗. BD⃗⃗⃗⃗ ⃗ et OB⃗⃗⃗⃗ ⃗. OC⃗⃗⃗⃗ ⃗. Propriété : Le produit scalaire est symétrique : Pour tous vecteurs �⃗⃗� 𝐞𝐭 �⃗⃗� de 𝒱, �⃗⃗� . �⃗⃗� = �⃗⃗� . �⃗⃗� Démonstration 2) Vecteurs colinéaires et carré scalaire Propriété Soient �⃗⃗� 𝐞𝐭 �⃗⃗� deux vecteurs de 𝒱