Champ scalaire

Ch 7 Produit scalaire – Applications : calcul de grandeurs Correction des « brèves de cours » p. 101 (Maths 1re – Coll. Terracher) Ex 67 Pour quelle valeur du réel a, les vecteurs [pic] et [pic] sont-ils orthogonaux ? On a [pic] d’où, dans un repère (O ; [pic] ; [pic]), les coordonnées de [pic] : (– 1 ; 3). On a [pic] d’où, dans un repère (O ; [pic] ; [pic]), les coordonnées de [pic] : (a – 1 ; 3). [pic] et [pic] sont orthogonaux équivaut à : [pic] qui équivaut à : (– 1)[pic](a – 1) + 3[pic]3

; • • le deuxième vecteur du membre de gauche (b) est multiplié par plus le produit scalaire des autres vecteurs (+a · c ) ; l’autre vecteur à l’intérieur des parenthèses du membre de gauche est multiplié par moins le produit scalaire des autres vecteurs (−b · c dans la 1re expression ; −a · b dans la 2e expression). ‡ I..3. Produit mixte (a × b) · c. Le produit mixte de trois vecteurs est le scalaire défini par [a, b, c ] On a [a, b, c ] = [b, c, a ] = [c, a, b]. Si [a, b, c ] = 0

variables . . . . . . . . 45 e e ` Exemples de fonctions ` plusieurs variables en ´conomie . . . . . . . . . . . . 45 a e L’espace R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Vecteur normal et ´quation d’un plan dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 e Repr´sentation graphique des fonctions de deux variables

engendrés par  i ,  0  et −2i. An d'obtenir une 1 1 1 base orthonormée de vecteurs propres, il sut de normaliser ces vecteurs (lesquels, en vertu de la théorie générale, sont automatiquement orthogonaux les uns aux autres pour le produit scalaire hermitien canonique sur C3 ). Ainsi P et D dénies par  6 0 0 0  D = 0 18 0 0 −24  et i √  3  i  P = √  3  1 √ 3  i −√ 2 0 1 √ 2  i √ 6  2i   −√  6 1  √ 6 conviennent, ce que l'on peut, après coup, vérier directement

en Newton (N) et AB en m ; et α représente l’angle entre les vecteurs Point maths : Le produit scalaire r r r r • Le produit scalaire des deux vecteurs u et v se note u . v r r • u . v est un nombre. Il peut être positif ou négatif. r r rx • Dans le repère mathématique O ; i ; j , si l’on a u   et y ( ) r  x' v ,  y' r r r  x r  x ' alors le produit scalaire u . v est égal à x x '+ y y ' . Autrement dit, u   . v   = x x '+ y y '  y  y ' r r r r r r r

l’ensemble des points M de l’espace tels que l’on ait : u=22 Consigne 4 On considère quatre points fixes A, B, C, D. Détermine l’ensemble des points M tels que MA-2MB+4MC=3MD . Séquence 3 : Le produit scalaire Activité 6 L’ouvrier Sonon avait conservé dans sa maison de vieilles feuilles de papier sur lesquelles, certaines esquisses du chef d’œuvre de l’ingénieur PIKO avaient été représentées. L’une des esquisses est la suivante : Q H G C E

 si AB  CD  alors A' B'  C' D' (on dit une isométrie conserve le produit scalaire). A' B'  A' C'  AB  AC (3) Soient A, B, C, D, E et F six points du plan et A' , B' , C' , D' , E' et F' leurs images respectifs par une isométrie du plan et soient a et b deux réels. si EF  a AB  b CD alors E' F'  a A' B'  b C' D' 3) Conséquences : Th 1 : Toute application f :P  P qui conserve le produit scalaire est une isométrie du plan.  Th 2 : Toute isométrie conserve l’alignement. En effet

DEVOIR SURVEILLÉ N° 7 Statistiques et produit scalaire Le 5 février 2010 Durée du devoir surveillé : 110 minutes L’usage de la calculatrice est autorisé. Exercice 1 (4 points) Le tableau suivant donne le montant des salaires annuels exprimés en milliers d’euros d’une petite entreprise. Salaires 16 18 20 25 30 40 Nombre de salariés 6 9 10 8 5 2 1) Déterminer la médiane, les premier et troisième quartiles. Interpréter ces résultats et les traduire

=+=+IDEDAADD52=++^hIDEDAADD5252=++. Donc IDEDAD5352=+.2 G est le milieu du segment AAl6@. Donc on a DGDADA21=+l^h. Or Al est le centre de gravité du triangle BCD. Donc IDAD32=l. Donc IDGDAD2131=+.3 On a DEDG65=. Donc les vecteurs DE et DG sont colinéaires. Donc les points D, G, E sont alignés. 1 Voir la fi gure ci-dessous.ACEDB2 CECBAB2325=+.DEDBBCCE=++, soit :DEACABBCCBAB2212325=--+++ccmm.DECAABBCCBBCBC222122125=+-=-=-.Les vecteurs DE et BC sont colinéaires, donc les droites DE^h et BC^h sont parallèles

mathématiques des étudiants en fonction de leurs origines. Maîtriser les bases de l’analyse et de la trigonométrie. Maîtriser les bases des probabilités et des statistiques. Compétences visées : Manipuler les polynômes. Effectuer le produit scalaire, vectoriel et projection de vecteurs. Calculer des dérivées, en particulier des dérivées de fonctions composées. Étudier des fonctions. Appliquer les développements limités au calcul de limites. Étudier une variable aléatoire suivant une loi