Champ scalaire

on note (e1 , . . . , en ) la base canonique et on identifie le plus souvent une application linéaire et sa matrice dans la base canonique. Par ailleurs, on notera AT la transposée d’une matrice A. L’espace Rn est naturellement muni d’un produit scalaire canonique, noté ·, · , et défini pour deux vecteurs x, y ∈ Rn par x, y = xT y. Définition 1 (différentielle). Soient U un ouvert de Rn et a ∈ U . Une fonction f : U → Rp est dite différentiable en a s’il existe une application linéaire continue L

Les vecteurs I. Translation de vecteur AB Si je fais glisser le bateau 1 le long de la droite (d) de A vers B, j’obtiens le bateau 2. Ce glissement est appel´e translation de vecteur AB Par cette translation de vecteur AB, le point C a ´et´e transform´e en le point D. On dit que D est l’image de C par la translation de vecteur AB. On ´ecrit que AB CD a dire que la figure ABDC est un parall´ elogramme. Dire que AB CD revient ` A savoir : AB CD ´equivaut ` a dire ABDC est un parall´elogramme (´eventuellement

Calculer la distance OC et construire avec précision le triangle OCD. 4. Soit K le milieu de [AC].   Calculer les affixes des vecteurs OK et DB puis montrer que les droites (DB)et (OK) sont  perpendiculaires. (on pourra utiliser le produit scalaire u.v  xu xv  yu yv ) Exercice 2 : 4 points Une entreprise produit des objets qu’elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de défauts : • le défaut S de nature esthétique ; • le défaut F de fonctionnement. Un objet est

(2) cette propriété découle directement de la définition de λ ⃗ u et ⃗ v : Propriétés : Pour tous vecteurs ⃗ ⃗ ⃗ u = 0 ou ⃗ v = 0 alors ⃗ u .⃗ v =0 . (1) si ⃗ u .⃗ v =⃗ v .⃗ u . (2) ⃗ 2 2 u =∥ ⃗ u∥ . u par lui-même, appelé carré scalaire est noté ⃗ (3) le produit scalaire de ⃗ u 2 et ⃗ 2 2 1 1 1 2 2 2 (∥ ⃗ u +⃗ 0∥ −∥⃗ u ∥ −∥⃗ 0 ∥ ) = (∥ ⃗ u∥ −∥⃗ u ∥ )= ×0=0 . 2 2 2 0 .⃗ v = 0. de même, on démontre que ⃗ 1 1 2 2 2 2 2 2 u .⃗ v = (∥ ⃗ v .⃗ u (2) ⃗ u +⃗ v ∥ − ∥⃗ u ∥ −∥⃗ v ∥ ) = (∥ ⃗ v +⃗ u ∥ − ∥⃗ v ∥

quand tu tombes là-dessus, concentre toi bien et fais en sorte de ne pas bloquer la dessus. Cela vient avec l’entrainement. BONNE CHANCE, IL Y A UN PAQUET D’EXO A FAIRE + JE VEUX MON KEBAB SI T’AS PLUS DE 15 :D Chapitre 1 : Applications du produit scalaire et problèmes I- Equations de droites et de cercles – Cours Dans cette partie nous allons voir comment exprimer une droite ou un cercle dans un plan cartésien, c’est-à-dire avec des coordonnées x et y. L’équation d’une droite est de la forme ,

numériques………………………………………………...….22 Chapitre VI : Statistiques et probabilités………………………………………..…26 Chapitre VII : Vecteurs et barycentres………………………………….…….……32 Chapitre VIII : Angles orientés - Trigonométrie…………………………………..36 Chapitre IX : Produit scalaire dans le plan………………………………………...40 Chapitre X : Géométrie dans l’espace………………………………………….….44 Chapitre XI : Transformations du plan et de l’espace……………………….…….48 Partie B : EXERCICES………………………………………….….51 Chapitre I : Equations et inéquations du

milieu du segment [CD]. Les segments [AI] et [BD] se coupent au point E . On note  une mesure en degrés de l'angle ̂ . IEB Première partie : sans utilisation d'un repère. Dans cette partie, on pose AB= 4 cm et AD = 3 cm. 1. Calculer le produit scalaire ⃗ ⃗ en décomposant chaque vecteur à l'aide de la relation de Chasles. AI⋅DB 2. Calculer les distances AI et DB. 3. En déduire cos() ; puis une valeur approchée à 1° près de l'angle ̂ . IEB Deuxième partie : avec un repère Dans cette partie

Rappels et compléments CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN A. Les vecteurs 1. Définition : Soit A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tels que les segments [AD] et (BC) ont le même milieu. B A D C 2. Propriété : AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. 3. Remarque : Si AB = CD alors (AB) // (CD) AB = CD . 4. Cas particuliers Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur associé

A – Montrer que, pour tout polynôme ? ∈ ℂ[?], l’application ?? : ? ↦ ? (?) est une fonction continue de ℳ? (ℝ) dans ℳ? (ℂ). I.B – Montrer que l’application (?, ?) ↦ Tr( ?? × ?) est un produit scalaire sur l’espace ℳ? (ℝ). Dans toute la suite du problème, on note ‖ ⋅ ‖ la norme associée à ce produit scalaire. I.C – Pour tous entiers ?, ? entre 1 et ? et toute matrice ? ∈ ℳ? (ℝ), comparer |??,? | et ‖?‖. I.D – I.E – Montrer que : ∀(?, ?) ∈ ℳ? (ℝ)2 , ‖? × ?‖ ⩽ ‖?‖ ⋅ ‖?‖. Pour ? ∈ ℕ∗ et ? ∈ ℳ? (ℝ),

−5k −4 = 2k , or ce système est impossible (trois valeurs de k diffé 1 = −7k rentes). Les points A, B et C ne sont pas alignés. → − b. le vecteur n (1 ; −1 ; −1) est orthogonal à AB car le produit scalaire est → − −−→ −3 + 4 − 1 = 0 le vecteur n (1 ; −1 ; −1) est orthogonal à AC car le produit scalaire est égal à −5 − 2 + 7 = 0. → − Donc le vecteur n (1 ; −1 ; −1) un vecteur normal au plan (ABC). c. Une équation du plan (ABC)est de la forme 1×x+(−1)×y +(−1)×z+d = 0, donc x − y − z + d = 0 or C doit