Champ scalaire

1. Mesures des angles orientes Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. (O ,  , ) est le repère orthonormal direct associé au cercle trigonométrique c de centre O. La droite d, i j tangente à c en A et munie du repère (A , ) représente l'ensemble des nombres réels. j définition : Pour un réel t repéré sur la droite d, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle c par "enroulement" de

coordonnées du point d’intersection B de Cg avec l’axe des abscisses puis donner une équation de la tangente TB à la courbe Cg en B. On considère la fonction g(x) = 0.5 Produit Scalaire, Probabilités : EXERCICE 1 : Soit ABCD un carré de centre O tel que AB = a. Déterminer en fonction de a les produits scalaires suivants : − − → → AB.AC − − → − → AB.AD − −→ → − OC.OD − − → → AC.AO − − → → OC.OA −→ − − − → AD.OB EXERCICE 2 : − − → − → On considère un triangle OAB avec OA = 5, OB = 3 et (OA

entoure et donc à mieux le représenter. 2) Les dimensions euclidiennes ou topologiques. La géométrie Euclidienne se traduit dans un espace euclidien qui par définition est un espace à une dimension finie, qui a des limites, muni d’un produit scalaire (opération algébrique s’appliquant au vecteur). La géométrie possède donc une dimension très vaste mais finie. Elle ne va donc pas plus loin (comme le dit sa définition) que la mesure d’angles et le calcul de distances. La dimension topologique

couple de fonctions (f, g) continues ` sur [0, 1] associe le produit scalaire: 1 1 t scal(f, g) = 0 f (t)g(t) 1 − 1 dt t Calculez pour tous i et j compris entre 0 et 15 le produit scalaire des fonctions xi et xj . Calculer la norme de la fonction √ pour ce produit scalaire. 3) D´terminer par l’algorithme de Gram-Schmidt les cinq premiers polynˆmes e o de la base orthonorm´e ´chelonn´e associ´e a ce produit scalaire (obtenus e e e e ` par orthonormalisation de la base canonique (ou par

calaire dans l'espace Correction du DM Ch4 : Géométrie - Produit scalaire dans l’espace Exercice 1 (6 points) [pic] 1) a) Calculer les produit scalaires : [pic] et [pic]. Par Chasles [pic] (AD) est perpendiculaire au plan (CDH) d’où (AD) est perpendiculaire à (CH) et[pic] Par projection orthogonale de [pic]sur (DH) : [pic]. Par projec. orthogonale de [pic]sur (HG):[pic]= –1 Finalement [pic]= 0. (0,75 pt) De même [pic]= [pic] =[pic] (0,75 pt)

un nombre est un vecteur de même direction et de longueur multipliée ou divisée par ce nombre. Si le nombre est négatif on change le sens du vecteur. Il est également possible de multiplier deux vecteurs entre eux: c'est le produit scalaire que nous verrons en première. Par contre il n'est pas possible de diviser deux vecteurs entre eux si ils ne sont pas colinéaires, ni d'additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs. Si deux vecteurs ont la même direction (si leurs

W : ker(W ) =  y ∈ W ∑ α i xi = 0 i =1   Opérations sur les vecteurs Somme multiplication ? Vecteur transposé Norme produit scalaire, vecteurs orthogonaux x' = ( x1  xi  xn ) x = ∑ xi = x' x 2 2 i =1 n z = x+ y zi = xi + yi ( x, y ) = ∑ xi yi = x' y ; i =1 n x = ( x, x ) = x ' x 2 {y ∈ R n ( x, y) = 0} Normes et produit scalaire  n : E → R+ norme :   x  n( x ) exemples E = R n ; x =∑ 2 2 n i =1 n  n( x) ≥ 0 positivité  n( x ) = 0 ⇔ x = 0  vérifiant

. . 53 3.2. Opérations sur les n-uplets de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Représentation géométrique des n-uplets de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4. Produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

deux racines = 1 et = 2 . a=-1 donc a<0 ainsi l’ensemble solution est l’intervalle [1 ;2]. Le produit scalaire I. Différentes expressions du produit scalaire : 1. Vecteurs colinéaires : Définition : soient et deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que et . • Si et sont de même sens : . • Si et sont de sens contraires : . • Si ou alors . • est le carré scalaire du vecteur 2. Vecteurs quelconques : Propriété 1 : Soient et deux vecteurs non nuls tels que et .

d’un tableau de réels, en effectuant un seul parcours du tableau. Exercice n°2:. Ecrire un algorithme qui recherche le plus grand et le plus petit élément d’un tableau d’entiers.   Exercice n°3:. Ecrire un... algorithme qui calcule le produit scalaire de deux vecteurs d'entiers U et V (de même dimension).  Exemple:  ( 3 2 -4 ) * ( 2 -3 5 ) = 3*2+2*(-3)+(-4)*5 = -20   Exercice n°4:. Ecrire un algorithme calculant la norme d’un vecteur à n composantes réelles:    Exercice n°5:. On appelle