Champ scalaire

PUISSANCE D'UN POINT PAR RAPPORT À UN CERCLE UNE PROPRIÉTÉ C est un cercle de rayon R et de centre O. I est un point quelconque du plan. Une droite D passant par I coupe le cercle C en deux points A et B. ® ® Il s'agit de démontrer que le produit scalaire IA . IB est indépendant de la droite D. ® ® 2 2 On considère le point A' de C diamétralement opposé à A. Démontrer que IA . IB = IO – R Cet invariant remarquable est appelé la puissance du point I par rapport au cercle C. APPLICATION D'un point

Espaces m´triques (en fait evn) e Exercice 1. Ouverts disjoints ◦ ◦ Soient U, V deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U et V sont disjoints. e Donner un contrexemple lorsque U et V ne sont pas ouverts. Exercice 2. A ouvert disjoint de B Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel norm´ disjointes. Si A est ouvert, montrer que A et B sont disjoints. e ◦ Exercice 3. U = U . ◦ Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U = U . e Exercice 4. Fronti`re

dans un triangle quelconque Savoir utiliser les formules d’addition : sin( a + b) et de duplication : cos(2a ) , sin( 2a ) . (Calculs de distances, d’angles…) Vecteurs du plan Calculer le produit scalaire de 2 vecteurs Exploiter les résultats d’un produit scalaire Utiliser les propriétés du produit scalaire. TOTAL ANNUEL Exemple de programme de mathématiques − 2nde professionnelle (Bac Pro 3 ans expérimental) – SEN 3 semaines 2 semaines 3 semaines 2 semaines 26 semaines BACCALAURÉATS

III - C Application Du produit scalaire 1) Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal Soit vec u (x;y) dans un repère orthonormal(O;vec i;vec j ) Le vecteur vec i a pour coordonnées (1;0) donc vec u .vec v = xx'+ yy' = x * 1 + 0*y = x le vecteur vec j a pour coordonnées (0;1) donc vec u. vec j = y newline Dans un repère orthonormal ( O ; vec i ; vec j ), un vecteur vec u a pour coordonnées( vec u .vec i ; vec u . vec j ) Ex : si on a vec u. vec i = 3 et

que (AB, AD) + (DA, DC) + (CD, CB) + ( BC, BA) = 0 + 2πZ. e Indication : utiliser la relation pr´ c´ dente pour chaque angle de la somme. e e c) Dans le quadrilat` re ci-dessous, calculer l’angle (AD, AC). e A D B C Exercice 3: Produit scalaire (20mn) ` Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que AB = 2AC. Soit D le sym´ trique de C par rapport a A, et K le point e tel que AK = 1 AB. On notera l la distance AC. 4 a) Faire une figure. b) Prouver que (CK) ⊥ (BD). On pourra faire intervenir

2y 2 1. D´montrer que ϕ d´finie sur R2 × R2 ` valeurs dans R par : e e a ϕ : ((x, y), (x , y )) → xx + xy + x y + 2yy . est un produit scalaire sur R2 . → → Notations : les vecteurs de R2 , − = (x, y) et − = (x , y ) ´tant donn´s, on u u e e → → − ,− . ´crira : ϕ((x, y), (x , y )) = u u e → → 2. Construire une base B = (− , − ), orthonorm´e pour le produit scalaire ϕ, e1 e2 e → − = (1, 0). contenant le vecteur e1 On demande, de plus, de choisir e2 = (γ, δ), avec δ > 0. ´ Ecrire les formules de changement

zB '= ( 2 − 2i )( −4 + 2i ) + 1 = −3 + 12i = −3 ( 1 − 4i ) . b. Pour montrer que les droites (CB’) et (CA) sont orthogonales, il suffit de montrer que les vecteurs CB '−4 + 8i ) et CA ( 2 + i ) sont orthogonaux. ( Attention, pour parler de produit scalaire il faut revenir aux coordonnées cartésiennes. On a donc CB ' −4 8 2 1 1 5 et CA et on vérifie bien que CB ' = 0 . .CA Les droites (CB’) et (CA) sont bien orthogonales. 3. Soit M d’affixe z = x + iy où on suppose que x et y sont des entiers

Exercice 1 : 1) Montrer que l’équation : 4X2 + 7X – 2 = 0 admet (-2) comme racine. En déduire l’autre racine. 2) En déduire : a) la résolution de l’équation : 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ; b) la résolution de l’inéquation : 3 – 2 x < 0 4x2 + 7x – 2 Exercice 1 : On considère un segment AB tel que AB = 6 cm 1) Justifier l ‘existence du point G barycentre de (A

récupérer les données bn, on effectue un produit scalaire avec le code associé gn : , , √ √ Or, les gk sont orthogonaux, Donc On obtient donc 0 1 , √ On comprend ainsi le principe du CDMA et comment le produit scalaire avec le code gk permet de récupérer les données de chaque utilisateur. Le signal reçu en réalité est évidement bruité. Récepteur bruité ù . Dans le cas d’un seul utilisateur En effectuant le produit scalaire selon le principe du cas non bruité, on obtient

MÉCANIQUE – LES MOMENTS : Le moment  ou couple  d'une force par rapport à un point est la représentation de la capacité d'une  force à créer une rotation. Ce point (par exemple I) doit être considéré comme une liaison pivot. H J  F y x I Il faut noter que les moments étant une représentation d'un  vecteur tournant on a dû trouver une solution pour les représenter :  Le moment est donc dans la  direction  de l'axe de la  liaison pivot.  Nous   allons   voir   deux   méthodes