Continuité territoriale

x 2 1 x2 2 1 x ( 1 x x) 1 . 1 x2 x f’(x) – F 0 y 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 x 2. a) f ' ( x) 1 pour tout x réel. Par conséquent sur R (intervalle de continuité), on a : 1 x2 Arc tan x C , où C est une constante à déterminer. Or f (0) et f ( x) f ( x) 2 Arc tan(1) 2 donc C = 2 Arc tan( x) 2 1 b) On sait par cœur que : Arc tan( x) Arc tan( ) suivant le signe de x. x 2 1 Arc tan(

EXERCICE 1 : Question 1 : Pour tout x réelln⁡(ex)=x et donc, ln⁡(ex)=-3 ↔x=-3 Question 2 : La limite de cette fonction correspond a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré : Ainsi limx→+∞f(x))= -2x22x3== -28=-1/4 Question 3 : La tangente a pour équation y=f'(1)x-1+f1 On a f(1)=3 et f'x=3*1x-2 f’(1)=1 Ainsi y=x+2 Question 4 : Le gain suit la loi de probabilité suivante : Gain | 7 | -2 | -3 | Probabilité | 16 | 26 | 36 | Son espérance est : 7*16-2*26-3*36=-1 EXERCICE

convergence est : R = . 3 √ √ 3 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 25 M r A  N -E  SÉRIES ENTIÈRES 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 Soit an xn une série entière de rayon de convergence R et soit ∞ n=0 f :] − R, R[−→ R la fonction définie par f (x) = an xn

valeur. Exercice On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : 1°) Résoudre dans R, l'équation . En déduire l'ensemble de définition de f. 2°) Montrer  : * Pour  * Pour  * Pour  3°) a) Etudier la continuité de f en 0 et en 3. b) Etudier la dérivabilité de f en 0 et en 3 et donner une interprétation graphique des résultats. 4°) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 5°) a) Calculer sur , la fonction dérivée f ' de la

(c’est ), ou : Au voisinage de 0, on a : Donc, pour : , d’où . Donc la fonction est prolongeable par continuité en 1 par la valeur 1, et la fonction obtenue admet un DL à l’ordre 1 en 1 : . Donc f est dérivable en 1, et . • Soit f définie sur , où a est un élément de I. S’il existe tels que, au voisinage de 0 privé de 0 : , alors f est prolongeable par continuité en a (par ), et la fonction obtenue admet un DL à l’ordre n en a. ? Au voisinage de 0, on a : Donc • Le

D evoirs  1à5 Devoirs – MA02-12 307 D evoir 1 Attention  à envoyer à la correction C  ollezl’étiquettecodéeMA02 – DEVOIR 01surla1repage devotredevoir.Sivousnel’avezpasreçue,écrivezlecode MA02 – DEVOIR 01,ainsiquevosnometprénom. L  asaisieinformatiséedesdevoirsnepermetaucuneerreur decode. Veuillezréalisercedevoiraprèsavoirétudiélaséquence1.  Important   Exercice 1 (3,5 points) 1 Restitution organisée des

R OYAUME DU M AROC ´ Minist` re de l’Education Nationale e et de la Jeunesse Minist` re de l’Enseignement e Sup´ rieur, de la Formation des Cadres e et de la Recherche Scientifique Concours National Commun d’Admission aux ´ Grandes Ecoles d’Ing´ nieurs e Session 2004 ´ ´ E PREUVE DE M ATH E MATIQUES I Dur´ e 4 heures e Concours MP Cette epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde ´ L’usage de la calculatrice est interdit Concours National Commun – Session

courbe représentative de de variation. sur [−5 /2, 5 /2] et en préciser le tableau On note Φ′ (dérivée généralisée), la fonction égale à la fonction dérivée ′ sur chaque intervalle de la forme ](2 − 1) /2, (2 + 1) /2[ , ∈ Z et prolongée par continuité sur chaque intervalle ](2 − 1) /2, (2 + 1) /2] , ∈ Z. Question 5 Dessiner le graphe de la fonction Φ′ . Soit pose une fonction R −→ R, continue par morceaux et périodique de période 2 ; on 1 2 ( )= ( ) − − d , ∈Z ∈ N∗ et 0( (7)

A est convexe. ◦ b) La partie A est-elle convexe ? Exercice 25 [ 01120 ] [correction] Soient A et B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E. ¯ ¯ Etablir d(A, B) = d(A, B) (en notant d(A, B) = inf d(x, y)) x∈A,y∈B Enoncés 3 Continuité et topologie Exercice 30 [ 01123 ] [correction] Justifier que U = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 31 [ 01124 ] [correction] Montrer que GLn (R) est une partie ouverte de Mn (R). Exercice 32 [ 01125 ] [correction]

Limites et continuité I/ Limites en ∞ d’une fonction : Dans tout le chapitre, l désigne un réel. 1)2)3) Les asymptotes : * Quand limx→ +∞fx=l (respectivement en -∞), on dit que la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale à Cf en +∞ (respt -∞). * Quand limx→ +∞fx- ax+b=0 (respt -∞), on dit que la droite d’équation y = ax + b est une asymptote oblique à Cf en +∞ (respt -∞). II/ Limites