Continuité territoriale

I. Définition de la fonction exponentielle Soit (E) l'équation différentielle f'(x) = f(x) avec f(0) = 1. On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation. Lemme Si f est une fonction solution de (E), alors pour tout x, f(x) \neq 0. Propriété et définition : Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée \exp. Démonstration : Soit f une fonction solution de (E) et on pose g(x) = f(x)f(- x) g est défini sur \mathbb{R}

courbe continue existe comme objet mathématique bien défini, le processus d'encadrement et de passage à la limite de Riemann est nécessaire, et pour le réaliser il faut avoir recours au concept de continuité uniforme. Sans chercher à escamoter cette difficulté et sans avoir recours à ce concept de continuité uniforme qui est résolument hors programme en terminale scientifique, nous essayons dans ce qui suit de montrer par quel choix d'axiomes ou de propositions admises et géométriquement significatives

Int´egration et calcul de primitives C. Ducourant September 13, 2007 1 Int´ egrale d’une fonction continue •D´efinition : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle [a,b]. Le r´eel not´e b a f (x)dx est appell´e int´egrale de a `a b de f . •Signe de l’int´egrale : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I contenant les reels a et b tels que a≤b. - Si f est positive sur [a,b], ⇒ - Si f est n´egative sur [a,b], ⇒ b a f (x)dx ≥0 b a f (x)dx ≤0 •Int´egrale

D(F1 , . . . , F6 ) = ... ... ... ... ... D(x01 , . . . , x06 ) . . . . . . 0 sin t 0 0 ... ... 0 = 2 x06 sin t 2 x06 les intégrales singulières sont donc les solutions de (Sn1 ) telles que, sur I, on ait : 2 x06 sin t = 0, c’est-à-dire (par continuité) x06 = 0. 2 L’équation (x06 ) + t x1 = 0 donne alors x1 = 0, et les équations x04 conduisent à x2 = a t2 + b t + c , (a, b, c) 2 R3 . x6 = 0 et x02 x4 = 0 La solution générale s’obtient ensuite en résolvant le système normal : 8 > > x01 = x3

2010 Détails Catégorie : Fonctions numériques   On considère la fonction f définie sur  par  et on note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonomé  (unité 0,5 cm) A) Etude d'une fonction auxiliaire : soit g la fonction définie sur , par .   1) Etudier les variations de g   2) Déterminer alors le signe de g(x) pour    B) Etude et représentation graphique de la fonction f : 1) Etudier les limites de f en  et en    2) Montrer que la droite (D) d'équation y = 2x + 4 est

Chapitre 6 FONCTIONS HYPERBOLIQUES 6.1 D´ efinitions On d´efinit trois fonctions sur R par ex + e−x (cosinus hyperbolique), 2 ex − e−x sh x = (sinus hyperbolique) et 2 sh x (tangente hyperbolique). th x = ch x ch x = Remarques : • On utilise parfois coth x = 1 · th x • Le terme hyperbolique se justifie g´eom´etriquement. En effet, en posant : quand t d´ecrit R, M de coordonn´ees (x, y) d´ecrit une branche d’hyperbole. 6.2 Trigonom´ etrie hyperbolique Dans toute la suite, a et b d´esigneront

encadrements Troisi` eme partie Prop 16.1. Soit I un intervalle de R, a un point ou une borne de I, f et g d´efinies sur I, telles que f (x)  g(x) pour tout x dans I. Si f et g admettent des limites (finies ou infinies) en un point a, on a : Continuit´ e 17 D´ efinition lim f (x)  lim g(x). x!a x!a Attention. Mˆeme si on a une in´egalit´e stricte entre f et g pour tout x, l’in´egalit´e portant sur les limites est large : il peut y avoir ´egalit´e des limites. Les deux fonctions suivantes

−x + C 4 sin −x pour x ∈] − ∞,0 [ © dpic Ð inpl Ð mai 1999 Equations diffŽrentielles linŽaires du 2•me ordre. U.M.N. 11. Exercices corrigŽs. RACCORDEMENT DE LA SOLUTION EN 0 • Continuité de la solution en 0 lim f+ (x) = C1 et lim f− (x) = C3 x→0 + x→0 − la solution sera continue en 0 ssi C1 = C3 • Continuité de la dérivée première en 0 f+ (x) − C1 C (ch x − 1) + C2sh x 1 x = lim 1 = (C2 x + C1 + ο(x)) + 2 x x−0 x x→0 x→0 C la lim ite est finie ssi C2 = 0, la dérivée à droite en 0 vaut alors

t/2 π/2 cos(nt) dt + ln(t) cos(nt) dt 0 Par intégration par parties, Exercice 3 : [énoncé] a) 0, cf. lemme de Lebesgue. b) Posons π/2 ln(t) cos(nt) dt = π/2 In = 0 0 sin(2nt) cos t dt sin t Cette intégrale existe car un prolongement par continuité est possible en 0. On observe sin(2(n + 1)t) − sin(2nt) = 2 sin t cos(2n + 1)t et donc 1 ln(π/2) sin(nπ/2) − n n nπ/2 0 sin u du u La fonction t → ln sin(t/2) se prolonge en une fonction de classe C 2 sur [0, π/2]. t/2 Par intégration par parties

Séquence 5 La fonction logarithme népérien Objectifs de la séquence ̈ Introduire une nouvelle fonction : la fonction logarithme népérien. ̈ Connaître les propriétés de cette fonction : sa dérivée, ses variations, sa courbe, sa relation fonctionnelle. ̈ Apprendre à utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture ou pour résoudre des équations. Sommaire 1. Pré-requis 2. Premières notions sur la fonction logarithme népérien 3. Courbes des fonctions exp et ln 4. Dérivée et tableau