Contrat Aléatoire

PROBABILITES 1. Loi Binomiale B(n,p) Il s’agit en fait de la somme de n variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi , de même paramètre p.  avec   Somme de lois binomiales. Soient deux variables aléatoires indépendantes: qui suit , et qui suit . La V.A. définie par suit une loi . 2. Loi de Poisson P() On appelle variable aléatoire de Poisson une variable aléatoire discrète X pouvant prendre des valeurs entières 0, 1, 2, …, k avec des probabilités

probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ? 4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ? 5. Le coût des soins à prodiguer

statistiques descriptives à deux variables est de faire apparaître d'éventuelles liaisons entre deux variables X et Y décrivant une même population P. Le vocabulaire est emprunté aux probabilités, bien que les variables ne soient pas des variables aléatoires, la population n'est pas probalisée ! En statistiques descriptives le rôle des deux variables est symétrique, ce sont les méthodes explicatives qui romperont cette symétrie. Généralités Statistiques descriptives à une variable Statistiques

+ × 0,87 × 0,13 ≈ 0,721 La probabilité qu'au moins sept entreprises n'emploient aucun salarié est 0,721. B. Loi normale 1° Réponse C : 0,86 Justification (non demandée) : suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5. Soit la variable aléatoire définie par : ≤ 890,5 = 859,5 − 874 ≤ 10,5 = , =1− = 0,87 = 0,13 ; suit 29 11 −Π − ≈ Π 1,57 − Π −1,38 = Π 1,57 − 1 − Π 1,38 21 7 = 0,9418 − 1 + 0,9162 = 0,858 ≈ 0,86 =Π 2° Réponse A : 0,27 Justification (non demandée) : − 874 880

cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts a et b. On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont aucun défaut ». Calculer la probabilité de l’évènement E. On en donnera

et que lim un = 1. n 1 Exercice 2 Dans cet exercice, p désigne un réel de ]0, 1[ et on note q = 1 – p. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé ( , A, P ), indépendantes et suivant toutes deux la même loi géométrique de paramètre p. 1) On pose Z = Inf (X, Y) et on admet que Z est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé ( , A, P ). On rappelle que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité : (Z > k) = (X > k)  (Y

usuelles 1 Variables aléatoires Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire muni de la probabilité P . Définition 1.1 (Variable aléatoire) Une variable aléatoire définie sur Ω associe à chaque issue, une valeur numérique. Les variables aléatoires que nous étudierons sont des applications (des fonctions) de Ω dans R. Par exemple, au jeu de pile ou face, on peut décider qu’obtenir pile rapporte 1 e, alors qu’obtenir face fait perdre 1 e. On définit alors la variable aléatoire X par : X(pile) = 1 et

Terminale S ⇔ il a deux côtés consécutifs perpendiculaires ; ⇔ ses côtés [NP] et [NM] sont donc perpendiculaires ; Partie B La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0 . Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie inférieure à t années, notée t 0  m−n  π π 1  1  ⇔ arg   = ± ⇔ arg  + i  = ± ⇔ + i ∈ iℝ

| | |ALÉATOIRES | Quand un événement peut prendre plusieurs valeurs fruits du hasard, on dit qu’il constitue une variable aléatoire. Généralités Une variable aléatoire prend différentes valeurs X avec des probabilités définies par sa distribution de probabilité

questions 45 minutes Louis-Victorien VEILLARD Pierre CARO Arthur BATTUT Question 1 : Tests de probabilités : ADE Dans cet exercice, nous nous intéressons au nombre de véhicules croisés par kilomètre. Il s’agit donc d’une variable aléatoire ou nous recherchons un nombre dans une distance fixée. D’autre part, ces évènements se produisent indépendamment de la distance parcourue depuis l’évènement précédent. C’est donc bien une loi de Poisson. Item A vrai, B faux. De plus, la fréquence