Contrat Aléatoire

dv = γ (v − v ) dt + ξ vε 2 dt avec ν , le niveau à long terme de la variance ; γ , la vitesse de retour de la variance vers son niveau de long terme ; ξ , un facteur d’échelle de la volatilité et ε 2 ~N(0,1)1. On suppose que les deux termes aléatoires ε1 et ε 2 sont corrélés. A partir de ce modèle, nous voulons calculer le prix d’un call européen d’un an écrit sur une obligation à coupon 0 de deux ans qui verse 100$ à son échéance. Le prix d’exercice de cette option est de 90$. Les paramètres

L’objet à prévoir La prévision peut porter sur la survenance d’un événement aléatoire E ou sur la valeur qui sera atteinte par une variable aléatoire Y. 2.1.1 Survenance d’un événement aléatoire E Il s’agit de calculer la probabilité p de survenance d’un événement aléatoire. Formellement, E est relié à une variable aléatoire binaire X qui vaut 1 si l’événement se réalise, zéro sinon. Voici une liste d’événements aléatoires que l’on peut chercher à prévoir en finance : • changement du niveau des

problème présente dans la partie I une version édulcorée d’un résultat récent sur les lois de Benford obtenu par Nicolas Gauvrit et Jean-Paul Delahaye. On propose de l’appliquer ensuite afin d’obtenir des résultats sur les lois limites de variables aléatoires de Pareto. 9) (a) Le changement de variable est généralement correctement effectué. (b) Si l’inégalité de gauche s’obtient sans trop de difficultés, celle de droite est un peu plus délicate, ce qui a échappé à de nombreux candidats. Partie I. Cette

EXERCICE 1 : Partie A : CORRECTION DU 2009 nelle calédonie 1°) Il s’agit d’une succession de 20 expériences aléatoires identiques et indépendantes les une des autres. Chacune aboutissant à deux issues contraires : « le véhicule est défectueux » avec p= 0.2 et son contraire dont la probabilité est q=0.8. X suit donc une loi binomiale de paramètres 20 et 0.2. 2°) P(X=1) = 0.2 0.8 = 0.0576 3°) Au plus un véhicule signifie que un véhicule ou zéro sont défectueux . P(X=0) + P(X=1) = 0.2 0.8 + 0

Bernouilli. On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p toute expérience aléatoire consistant à répéter k fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Une épreuve de Bernouilli de paramètre p est une expérience aléatoire comportant deux issues, le succès ou l’échec, et où p représente la probabilité de succès. La loi binomiale négative exprime la probabilité de la variable aléatoire X qui représente le nombre d’épreuves n nécessaires à l’obtention de k succès, avec

différentes variables d’un système donné. D’autre part, en exploitant les indépendances conditionnelles entre les variables, ils introduisent une certaine modularité dans les systèmes complexes. Nous modélisons les dépendances entre les nœuds (variables aléatoires) en créant des interactions entre deux réseaux : un HMM-horizontal et un HMM-vertical. Le réseau HMMvertical (resp. HMM-horizontal) prend pour séquence d’entrée (observation) les colonnes de pixels du caractère (resp. les lignes de pixels) [HAL

x)ns-x6r alors on a : *fCt a) I, = #;- In+1 2/ Soit ?r un entier vérifiant n2 + 2n - glTl alors on a : a) n - 2l7l a ) p (X=0 , 5 ) - 9 , 5 EXERCICE No 2 (3,5points) b) n: 3L7l b )p (X > 0 ,8 /X > 0,5) 3i soit x une variable aléatoire qui suit la loi uniforme dans Le tableau ci-dessousdonne l'évolution de Ia population d'un I'année et P la lation en millions d'habitants. e le rang de Rang de I'année : T La ti on: P l/ Représenter le nuâge de points associéà 2/ Calculer

la deuxième pièce b pour le i-ème lancer. On a de plus P (ai = face) = P (bi = face). Le résultat du lancer de a n’influence pas celui de b et aucun lancer n’est influencé par les lancers précédents, ni suivants. On considère le couple de variables aléatoire (X, Y ) défini par : 0 si (a1 , b1 ) = (face, face) X =  1 si (a1 , b1 ) = (pile, face) ou (face, pile) et  2 si (a1 , b1 ) = (pile, pile)    1. Déterminer les loi de X et Y . Calculer les espérances E(X) et E(Y ), ainsi que les variances

d’étudier comment a été établi le plan de sondage fournissant l’échantillon. Cela fait l’objet de la théorie des sondages et, pour plus de détails, on peut se reporter au livre de Droesbeke-Fichet-Tassi [5]. Le tirage le plus usité est le tirage aléatoire avec remise. Il consiste à tirer au hasard l’échantillon, unité par unité. Lorsqu’un élément est tiré, il n’est pas éliminé et participe au tirage suivant. Dans la suite, on suppose que l’échantillon a été obtenu de cette manière. 1.3.1 Modèle

d’aide à la décision.   I – Les différents types de décisions A – Classification des décisions selon leur degré de risque Du point de vue du degré de risque attaché à la prise de décision, on parle de décisions « certaines », de décisions « aléatoires », et de décisions incertaines. 1 — Les décisions « certaines » : ces décisions se caractérisent par un risque nul dans la mesure où l’on connaît le résultat de la prise de décision dans 99 % des cas. Notons toutefois qu’un risque totalement nul