Convergence numérique

. . 7.1.2 Le domaine de convergence simple d’une série entière est un disque au bord près . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Produit de deux séries entières . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Substitution d’un monôme . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Propriétés de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Domaine de convergence uniforme . . . . . . . .

an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆= x∈R:   ∞ n=0     n an x converge   qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons le critère de D’Alembert ; n! fn+1 (x) x lim = lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ; n−→∞ n−→∞ fn (x) n+1 donc ∆ = R. ∞ xn Exemple

voisinage d'un point...) d'un domaine U sont égales sur U.  Toute série entière est analytique dans son disque de convergence.  Toute fonction analytique sur U est localement la somme de sa série de Taylor. 1.1. Séries entières, rappels 1.1.1. Disque de convergence. soit S (z) = n≥0 an z n une série entière. Il existe un réel ρS ≥ 0, appelé rayon de convergence de la série, et vériant  S est absolument convergente dans le disque DρS  S diverge (non bornée) en dehors du disque

Séries entières 9-1 Sommaire 1. Séries Entières, Convergence 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Série entière . . . . . . . . . . . . . . Rayon de convergence . . . . . . . . Disque ouvert de convergence . . . . Recherche du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 3.3. Développements usuels . . . . . . . . . . . . 5 1 4. Développement en S.E., Somme de S.E. 4.1. Fonction développable en série entière . . . 4.2. Développement en série entière . . . . . . . 4.3. Sommation de

zQ(x)= (-l)V , Zh (n)= z(-lrx’ k=n+l pour n E N et on pose R,(n)= -1 k+’ E(-lrxk. k=O On considère par ailleurs la série C (-k et on pose : r, = E ( ) k k21 k=n+l convergence de la série c r, et de calculer sa somme. ni20 Y +1 pour n E N. On se propose d’établir la 1.2.1. Justifier la convergence de la série ET ( k2l -1 k+’ 1 et par suite l’existence de r, pour tout nE N. 1.2.2. Soit (n,m) E N* avec n 5 m et ZO= [0, l[. 1.2.2.1. En remarquant que k=n =Z&(x)-R

rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n 1 Séries entières Rayon et domaine de convergence Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2 n 0 n 0 n 1 n 0 nn 3n z n! Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+ ∪ {+∞}. Déterminer le rayon de convergence de an z n . Exercice 2 [ 03054 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence de 2n

Définition : Les critères de convergence ou les critères de « Maastricht » sont des critères, fondés sur des indicateurs économiques, que les pays membres de l’Union Européenne doivent respecter pour leur permettre l’entrée dans la zone Euro. Les critères de convergence ont pour base juridique l’article 140 du traité sur le fonctionnement de l’Union européenne (UE) et font l’objet du protocole n°13 annexé aux traités fondateurs de l’UE. Ces critères ont été établis lors du traité de Maastricht

Libéral ET Social ! L’incontournable économie sociale de marché. Rechercher Accueil du site > 50. Réformes, Réforme de l’Etat, baisse des charges, Dettes (...) > Dette publique : ce que ne disent pas les chiffres officiels. Dette publique : ce que ne disent pas les chiffres officiels. Extraits du rapport Pébereau. dimanche 3 juin 2007, par Laurent Simon Depuis peu les Français ont (enfin) entendu parler de la dette publique française : si l’on ne tient pas compte des engagements

scrutins régionaux et municipaux infligeant une sévère défaite électorale au PSOE. Les « petits » partis comme l’Union progrès et démocratie (UPyD), les régionalistes basques de Bildu-Eusko Alkartasuna (Ensemble en basque, Bildu EA) ou catalans (Convergence et union, CiU) en sont aussi sortis renforcés. Au niveau municipal, le PP s’est imposé avec 37,53% des suffrages et 26 499 postes de conseillers municipaux obtenus contre 27,79% des voix au PSOE et 21 767 postes, soit le plus faible résultat

(février 1992, ratifié par la France en septembre 1992 par référendum et entré en vigueur le 1er novembre 1993), se sont imposés une autre ligne de conduite qui doit être adoptée par les 17 membres de la zone Euro : le respect des cinq " critères de convergence ". Parmi ces critères, deux concernent respectivement le déficit et la dette cumulés de l’ensemble des administrations publiques (État, Sécurité sociale, collectivités territoriales) : - d’une part, le déficit des administrations publiques ne doit