Convexité

général des taux d'intérêt. D'où l'intérêt manifesté à l'immunisation des portefeuilles et des bilans par le recours aux concepts traditionnels de la gestion des risques des taux d'intérêt. 1.1. L'immunisation d'un portefeuille, LA duration et LA convexité Le problème de la gestion de la variation des montants des avoirs et des engagements dans un contexte déterministe, en raison d'une variation dans les taux d'intérêt est formulé de la façon suivante. Étant donnée la série des flux monétaires

...................................... 14 1.3.2. Principe du Cash Flow Matching.............................................................................................................. 17 1.3.3. Principe d’immunisation en sensibilité et en convexité aux risques de taux et d’inflation ....................... 20 Partie 2. Développement théorique d’une solution ALM : le Liability Driven Investment (LDI) 22 2.1. Fondement théorique du LDI et théorème de séparation ...........................

̶ ARER.FR 1.4- Les courbures. Du haut vers le bas : Convexité antérieure : lordose. Antérieur Convexité postérieure : cyphose. Postérieur. Convexité antérieure : lordose. Cette colonne présente cette forme dans le plan sagittal, pour amortir le poids du corps. Les courbures « pathologiques ». Cyphose => convexité antérieure du haut vers le bas de la colonne. Scoliose => Convexité antérieure vers le milieu de la colonne. Lordose => Convexité postérieure vers le bas de la colonne. 1.5- Les Moyen

Fonctions convexes : corrigé Inégalités de convexité Exercice 1 - Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité ! Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé

peut pas connaître le sens de variation A10 ) Pour couvrir un panier d’obligations contre un mouvement de taux important, quels sont les indicateurs que l’on doit prendre en compte ? ● La Duration uniquement ● La Convexité uniquement ● La duration et la convexité (R) ● Aucun des deux B) Risque de Marché B1) Que représente la Value at Risk ? ● Une probailité de défaut ● Une perte que l’on risque de subir (R) ● Un gain que l’on peut réaliser avec une probabilité

deux courbures sur les quatre, ce qui donne à l’enfant l’allure arquée d’un quadrupède. Ces 2 courbures (appelées primaires) sont à convexité postérieure. La lordose cervicale se développe progressivement lorsque le bébé redresse la tête, alors que la cyphose dorsale n’est pas encore établie et qu’au niveau lombaire on observe une inversion de la courbure (convexité vers l’arrière : lordose). • A 13 mois, le rachis est pratiquement rectiligne : le passage de la position quadrupède à la station

≥[OpttEurh2,T-OpttEurh1,T]h1(ST)≥0 C'est donc une opportunité d'arbitrage ,si h1(ST) n'est pas nulle p.s * en appliquant le lemme à la fonction décroissante par apport à K ,montre la décroissance de (x-K)+ * La convexité résulte de la convexité par rapport à K de la valeur intrinsèque ,qui implique d'après le lemme que , si i=1nαi=1 , avec αi∈[0,T] Callt(i=1nαiKi,T) ≤Callt(i=1nαi(.,Ki),T) ≤i=0nαiCallt(ki,T) * L'inégalité suivante résulte du fait que (x-K)+≥x-K

alors lim f (x) = +∞. x−→+∞ x−→+∞ Exercice 25 Etudier les suites définies par : a) u0 = 0 ∀n ∈ N, un+1 = 2 + b) 1 u2n 3 u0 = 0 ∀n ∈ N, un+1 = e−un 5 Convexité Exercice 26 Montrer que ∀x ∈ 0, π2 , π2 x ≤ sin (x) ≤ x. 1 1 En déduire la convergence de la suite u définie par : un = (sin (x)) n dx. 0 Exercice 27 Etudier la convexité de f : x −→ ln (ln (x)). En déduire : x+y ∀ (x, y) ∈ ]1, +∞[2 , ln 2 4 ≥ ln (x) ln (y) 

x* sera donc sur la CB : Les variations de prix modifient le choix. MAIS le choix est-il UNIQUE ? Non car rien n'empêche la situation suivante : Pour y remédier, il faut que l'hypothèse de stricte convexité soit vérifiée. 5). la convexité des préférences [20/10/2000] HC8 - stricte convexité des préférences Cette hypothèse (cf. fiche 2 pour la définition) dit que les courbes d'indifférence sont strictement convexes. On a donc Nota : ˆ x x © Notes de cours F.Géraud sur le cours de

saturation, les courbes d’indifférences sont décroissantes. De la même manière, on peut montrer que les courbes d’indifférences ne peuvent pas se couper. 2-2-2- La convexité des préférences Les courbes d’indifférence ont toutes une forme particulière qui correspond à une hypothèse sur les préférences du consommateur. Cette convexité signifie que les préférences du consommateur sont convexes. (***Le graphique est incomplet***) Au point M, le consommateur dispose de peu de bien 1 et beaucoup