Convexité

μifj(x) 1≤i≤m 1≤j ≤p (1≤i≤m), (1≤j ≤p), (1≤j ≤p), (1≤j ≤p),  ∇xL(xmin, λ, μ) = 0, fj(xmin) ≤ 0 μ≥0  j  μjfj(xmin) = 0 2.4 Optimisation convexe Optimisation convexe (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v).   g(x)=0 i min  La notion de convexité possède un rôle privilégié en théorie de l’optimisa- tion car elle permet d’obtenir des conditions globales d’existence, mais aussi par l’existence de conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité et cela même dans le cas non différentiable

des[->1] doigts[->2], observée[->3] surtout[->4] dans les maladies[->5] pulmonaires[->6] chroniques[->7] et les affections[->8] cardiovasculaires[->9] cyanogènes[->10], consistant[->11] en un élargissement[->12] des[->13] doigts[->14] et une[->15] convexité[->16] des[->17] ongles[->18], ce qui donne[->19] aux doigts[->20] la forme[->21] d'une[->22] baguette[->23] de tambour. - Cyanose : La cyanose est la coloration bleuâtre ou mauve de la peau et des muqueuses (membranes tapissant la totalité

Nature locale Nature locale des points stationnaires f’’(x) = 24x2 – 18x -1 ≤ x ≤ 2 -2 2 ≤ x ≤ 5 f’’(0) = 24 (0)2 – 18(0) = 0 ⇢ incapable de déterminer Analyse de convexité : 24x2 – 18x ≥ 0 ? Convexe ∀ x ≤ 0 Concave ∀ x ≥ 0 donc, x= 0 est un point singulier f’’(9/8) = 24 ()2

entre la courbe d’indifférence et la droite de budget Courbe d’indifférence Représentation des préférences d’un agent sur les paniers de biens. Y figurant toutes les combinaisons de biens X et Y donnant un même niveau d’utilité. Convexité des préférences Le consommateur préfère la variété, c’est-à-dire qu’il aime les mélanges Taux marginal de substitution intertemporel Il indique la proportion dans laquelle les préférences du consommateur le conduisent à réaliser des transferts

risque du taux d'intérêt 2. La nature du risque des taux d'intérêt 3. Sources du risque du taux d’intérêt  III) Mesure du risque du taux d’intérêt 1. La sensibilité 2. La duration 3. La convexité 4. La Value at Risk (VaR) IV) Instruments de protection : Obligations 1. Définition 2. Les types d’obligations V) Instruments de couverture 1. Généralités sur

(elle l’est par une lame de mica disposée sur toute la section). Expérience de Pàal Paàl réalise des expériences en lumière isotope. En plaçant la pointe décapitée de façon décentrée sur le coléoptile décapité il obtient une courbure dont la convexité est du côté de la pointe : la dissymétrie causée par le décalage de la pointe du coléoptile est comparable à celle engendrée par la dissymétrie de l’éclairement.  Il existe une substance qui n’est pas arrêtée par la couche de gélatine (substance

psychologique : Mme C. mesure 1m65 et pèse 54kgs soit un IMC de 19,8 (corpulence normale). En juin 2013, elle a passé une radiographie du rachis dorso-lombaire qui faisait apparaitre une scoliose lombaire inférieure à convexité gauche, une courbure compensatrice dorso-lombaire à convexité droite et une cyphose au niveau de la charnière dorso-lombaire était constaté de profil. Elle porte des bas de contention et un appareil dentaire. Mme C. est agréable avec le personnel soignant, elle parle beaucoup

sens de variation de f . On obtient le tableau de signes suivant pour la dérivée : x f ′(x) −∞ −1 +∞ + 0 − Le principe de Lagrange permet alors de conclure que f est strictement croissante sur ]−∞;−1] et strictement décroissante sur [−1;+∞[. 2. La convexité de la fonction f sur R. Le graphique permet également de dire que f ′ est strictement décroissante sur ]−∞;0] et strictement croissante sur [0;+∞[, la fonction f est donc concave sur ]−∞;0] et convexe sur [0;+∞[. Partie 2 On admet que la fonction

|2µ| = 2|µ| = 2 = ρ. R´ sumons e e 1 Les vecteurs X tels que ν(X)| = ρ sont les vecteurs µ 1 , avec |µ| = 1. Ils sont donc tous colin´ aires a e ` . −µ −1 3. Cas n = 3 : a. La fonction exponentielle est convexe sur R ; l’in´ galit´ de convexit´ donne, pour tous r´ els u 1 , u2, u3 : e e e e u1 + u 2 + u 3 1 u1 1 3 3 (e + eu2 + eu3 ) . En appliquant cela aux trois r´ els ui = e ≤ (eu1 + eu2 + eu3 ) ou : eu1 .eu2 .eu3 ≤ e 3 27 ln(ti ) si t1, t2 , t3 sont strictement positifs, cela donne

Forward Lognormal (BGM ou LFL) 1.1) Rappels 1.2) Prise en compte du smile. 2) Modèle Swap Forward Lognormal (Jamshidian ou LFS) 2.1) Définition du modèle 2.2) Pricing des swaptions européennes dans le cadre de Jamshidian 2.3) Correction de convexité CMS. Moez MRAD / SG R&D Fixed Income 18/03/2005 3 Introduction : Modèles de Marché • Le Libor Market Model (ou Libor Forward Lognormal) est un modèle construit de telle façon à coller automatiquement aux prix de caps européens. •