Convexité

Chapitre 5: FABRICATIONS SPECIALES I. ( utile • Hypermétrope • Commander le verre le plus petit c'est-à-dire au ( de commande. • + : ec diminue ( eb diminue ( le poids diminue ( l’effet loupe diminue • - : Le plus petit ( que l’on puisse commander est 48 mm. II. Bord tranchant • Hypermétrope • Obtenir une épaisseur au bord brut ( 3/10éme à 5/10éme • + : Gain d’eb brut ( gain de poids • -

En quoi la convexité en mathématiques permet-elle d’optimiser certains marchés économiques ?INTRO : En vue de mon projet professionnel, l’association de ma spécialité mathématiques au domaine économique me paraissait intéressante à évoquer, surtout autour du chapitre de la convexité. En effet, cette notion est très utilisée en mathématiques. Elle consiste à vérifier si les tangentes de la représentation graphique d’une fonction deux fois dérivable se situent au-dessus ou au-dessous de

eorts considérables qu'ils fournissent pour notre formation. Je ne saurai terminer sans remercier tous mes parents et amis, et tous ceux qui de près ou de loin m'ont soutenu et apporté leur aide. 1 Table des matières 2 INTRODUCTION La convexité, étude des ensembles et des fonctions convexes, constitue une branche de la géométrie et de l'analyse qui unie des phénomènes à première vue totalement dissemblables. Elle intervient à divers niveaux dans des branches très variées des mathématiques

5 %, un TRE de 7,5 %, une duration de 7,53528115 et une convexité de 64,3918509. Barbell composé de : 50,5 % d’obligations d’échéance 2 ans, coupon de 6,50 %, TRE de 6,50 %, une duration de 1.94 une convexité de 5.087 49,5 % d’obligations d’échéance 10 ans, coupon 7,50 %, TRE 7,50 %, duration 7,535 et convexité 64,39. Les caractéristiques globales de chaque portefeuille sont les suivantes : Portefeuille TRE Duration Convexité Bullet 7,5 6,434 55,4506 Barbell 8,832 3,658 81,886

que lorsque r diminue. Autrement dit, la volatilité des cours est non symétrique lorsque les variations des taux sont grandes. La notion de convexité est utile dans ce cas. • Par ailleurs, la baisse des prix d’une obligation lorsque r passe de 20% à 22% est beaucoup plus faible que la baisse du prix lorsque r passe de 5% à 7%. Ici encore, la convexité capte ce phénomène. II. Mesures de risque de marché des obligations 1. La duration La duration (appelée aussi la durée

du problème du consommateur dans R2 La saturation de la contrainte budgétaire Résolution graphique : TMS = rapport des prix. 2.4. La stricte convexité des préférences Stricte convexité des courbes d'indifférence et unicité de la solution : exemples et contre exemples. Solutions de coin. Interprétation graphique de la convexité La stricte convexité du préordre La stricte quasi-concavité de la fonction d'utilité Rappels mathématiques : fonctions concaves, convexes et quasi-concaves. Conditions

est important de bien cerner les sources de risque des obligations. La première partie de ce document pédagogique présente brièvement les sources et les mesures de risque des titres obligataires. Il introduit aux concepts de durée (duration) et de convexité tant des obligations individuelles que des portefeuilles obligataires. Dans le cadre de la gestion de portefeuille obligataire, les gestionnaires peuvent adopter autant des stratégies de gestion active que des stratégies de gestion passive.

à la moyenne des valeurs possibles de t pondérée par les flux actualisés 3. Sensibilité : C’est la variation du prix d’une obligation aux mouvements de taux. 4. Convexité : Pour les fonds de types obligataires, la seule mesure de la sensibilité ne suffit pas. Le prix P est une fonction convexe en non linéaire de x. La convexité mesure le degré de la variation de la duration lorsque les taux d’intérêt varient. III. Catégories de risques spécifiques au monde obligataire : 1. Risque de taux :

1 LA DURATION D’UNE OBLIGATION .....................................................................................6 3.2 LA SENSIBILITÉ D’UNE OBLIGATION ...................................................................................7 3.3 LA CONVEXITÉ D’UNE OBLIGATION ...................................................................................7 3.4 LES PROPRIÉTÉS DE LA SENSIBILITÉ ET DE LA DURATION ...................................................8 3.5 LES LIMITES DE L’APPROCHE DE LA

parallèle de la courbe de taux sur le portefeuille. La convexité La convexité correspond à la courbure marquée sur la droite de fonction ∆P/P. La convexité est un indicateur du risque de taux lié à un instrument à taux fixe, comme une obligation, qui complète la sensibilité ou la duration. Soit r le taux actuariel, Soit Pr le prix de l'instrument en fonction du taux actuariel, De plus, selon John Hull, lorsque nous prenons en compte la convexité dans l’impact d’une variation de taux actuariel sur