Coordonnées cartésiennes

• V est le volume intérieur au cylindre droit de section D limité par la surface Sf d’équation z=f(x,y) et le plan z = 0 2-Intégrales triples Cas particulier: Si f (x, y ) = 1 alors D dxdy = aire de D. ds = dxdy est l’élément d’aire en coordonnées cartésiennes 5/27 1) Calcul de l’Intégrale Double M— Michel Fournié O- Intégrales simples 1-Intégrale double 1.1- Définition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première Décomposition 1.3- Calcul de l’Intégrale Double 2) Deuxième Décomposition 1.4- Propriétés

repère cartésien orthonormé R (O, ex , e y , ez ) , on étudie le mouvement d’une particule astreinte à se déplacer sans frottement sur la surface interne (S) d’un cône renversé fixe de sommet r O et d’axe (O, ez ) . On assimile cette particule à un point matériel M, de masse m. r r r z On utilise un système de coordonnées cylindriques ρ, ϕ, z et le repère local orthonormé correspondant r r r Rl ( M , eρ , eφ , ez ) (figure 1), de sorte que : uuuu r r r OM = ρ eρ + zez Les coordonnées de

projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Espaces projectifs réel . . . . . . . . . . . 2.1.2 Axiomes d'incidence dans un plan projectif 2.1.3 Eléments à l'inni . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Sous-espaces projectifs . . . . . . . . . . . Coordonnées homogènes . . . . . . . . . . . . . . Morphismes projectifs . . . . . . . . . . . . . . . Carte ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Carte ane d'une droite projective . . . . 2.4.2 Carte ane d'un plan projectif . . . . . . Homographies

∆F = ∂ F + ∂ F . ∂x2 ∂y 2 b) Exprimer ∂F ∂ρ Exercice 32 En passant en coordonnées polaires, résoudre sur R2 \ {(0, 0)} l'équation aux dérivées partielles ∂f ∂f y −x =0 ∂x ∂y [ 01766 ] Exercice 36 [ 01773 ] (M ) et ∂F ∂θ (M ) en fonction de ∂ F ∂ρ2 2 c) Exprimer ∆F en fonction de , ∂F ∂ρ et ∂F ∂x (M ) 2 ∂ F ∂θ 2 . et ∂F ∂y (M ) Exercice 33 En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctions f : R+ × R → R de classe C 1 solutions de

. 3.4.4 Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6 Différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.7 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.8 Jointure, theta-jointure, equi-jointure, jointure naturelle . . . . 3.4.9 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Travaux Dirigés – Algèbre relationnelle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 L’algèbre relationnelle 5.1 Les opérateurs de l’algèbre relationnelle 5.1.1 La sélection, . . . . . . . . . 5.1.2 La projection, . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Le produit cartésien, 5.1.4 L’union, . . . . . . . . . . . 5.1.5 La différence, . . . . . . . . 5.1.6 Jointure, . . . . . . . . . . . 5.2 Expression de requêtes avec l’algèbre . 5.2.1 Sélection généralisée . . . . . . 5.2.2 Requêtes conjonctives . . . . . 5.2.3 Requêtes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TABLE DES MATIÈRES 4 5 6 7 8 L’algèbre relationnelle 5.1 Les opérateurs de l’algèbre relationnelle 5.1.1 La sélection,   . . . . . . . . . 5.1.2 La projection, ✁ . . . . . . . . . 5.1.3 Le produit cartésien, ✂ . . . . . 5.1.4 L’union, ✄ . . . . . . . . . . . 5.1.5 La différence, ☎ . . . . . . . . 5.1.6 Jointure, ✆ . . . . . . . . . . . 5.2 Expression de requêtes avec l’algèbre . 5.2.1 Sélection généralisée . . . . . . 5.2.2 Requêtes conjonctives .

sécurité principales relatives à la programmation. Avant d’entreprendre la programmation, lisez attentivement ce manuel de l’opérateur afin d’être tout à fait familiarisé avec son contenu. AVERTISSEMENT 1. Réglage du système de coordonnées Si un système de coordonnées est incorrectement défini, la machine peut fonctionner de façon imprévue, le programme exécutant une commande de mouvement différente. Un fonctionnement non prévu peut détériorer l’outil, la machine elle–même, la pièce ou même

. . . . . . . . . . TABLE DES MATIÈRES 4 5 L’algèbre relationnelle 5.1 Les opérateurs de l’algèbre relationnelle 5.1.1 La sélection, . . . . . . . . . 5.1.2 La projection, . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Le produit cartésien, 5.1.4 L’union, . . . . . . . . . . . 5.1.5 La différence, . . . . . . . . 5.1.6 Jointure, . . . . . . . . . . . 5.2 Expression de requêtes avec l’algèbre . 5.2.1 Sélection généralisée . . . . . . 5.2.2 Requêtes conjonctives . . . . . 5

dans un repère orthonormé O x yz, de vecteurs unitaires ex , e y , ez . 1.1.1 Coordonnées cartésiennes −−→ r = O M = x ex + ye y + zez z z M (x, y, z) Si M se déplace, on a : −−→ −→ d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er