Coordonnées cartésiennes

1- POSITIONNEMENT D'UN POINT OU D'UN SOLIDE 11- Position d'un point • Dans le plan: 2 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées polaires : avec • Dans l'espace: 3 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées cylindriques : avec coordonnées sphériques : avec et 12- Position d'un solide • Dans le plan: 3 paramètres, deux pour préciser la position d'un point particulier du solide et un paramètre de rotation • Dans l'espace: 6 paramètres;

droite. Afin de repérer la position d'un mobile sur cette trajectoire nous utilisons un repère avec un seul axe Ox de même direction que celle de la trajectoire. Ceci constitue le repère le plus pratique car le vecteur position n'aura qu'une seule coordonnée, l'abscisse x du mobile. Il suffit donc tout simplement de munir la trajectoire d'une origine O et d’une orientation, pour laquelle on choisira si possible celle du mouvement. L’origine O s'appelle encore origine des espaces. L'instant où le chronomètre

3. Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées: a. Gradient: →  ∂ U r  ∂ U r  ∂ U r * cartésiennes: grad U =   ex +   ey +   ez  ∂x  ∂y  ∂z  →  ∂ U r 1  ∂ U r  ∂ U r * cylindriques: grad U =   er +   eθ +   ez r ∂θ  ∂r   ∂z  →  ∂U  r 1  ∂ U r 1  ∂ U r * sphériques: grad U =   er +   eθ +   eϕ r  ∂θ  r sin θ  ∂ ϕ  ∂r b. Divergence: r  ∂a   ∂ a   ∂ a  * cartésiennes: div a =  x  +  y  +  z   ∂x   ∂ y   ∂z  r

dans un repère orthonormé O x yz, de vecteurs unitaires ex , e y , ez . 1.1.1 Coordonnées cartésiennes −−→ r = O M = x ex + ye y + zez z z M (x, y, z) Si M se déplace, on a : −−→ −→ d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er

choisit donc un repère d'espace dans lequel on cherche à déterminer les composantes des vecteurs. Ce choix est orienté par la géométrie du problème. I.1.1 Repère cartésien C'est un repère d'espace orthonormé, noté R, d'origine O et de vecteurs de    base ( i , j , k ) . La position du point M est caractérisée par ses coordonnées cartésiennes x, y, z. Le vecteur d'équations OM s'écrit alors : OM  x i  y j  z k I.1.2 Repère polaire Dans le but de simplifier les calculs, il est avantageux de tenir

référentiel donné. • Apprendre à choisir le bon système de coordonnées en fonction du problème étudié. LES PRÉREQUIS • Notions sur l’intégration des vecteurs vitesse et accélération en tenant compte de conditions initiales. LES OUTILS MATHÉMATIQUES • Notions sur l’intégration vues en mathématiques. ESSENTIEL Systèmes usuels de coordonnées • Coordonnées cartésiennes —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ OM = x ex + y ey + z ez ; base (ex , ey , ez ) (doc. 1). • Coordonnées cylindriques —➞ OM = r e➞r + z e➞z ; base (e➞r , e➞q

référentiel RAPPEL DE COURS ◗ SYSTÈMES USUELS DE COORDONNÉES • Coordonnées cartésiennes • Coordonnées cylindriques —➞ —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ OM = r e➞r + z e➞z ; base (e➞r , e➞q , e➞z ) (doc. 2). OM = x e x + y e y + z e z ; base (e x , e y , e z ) (doc. 1). y z eθ z r M ez z θ er x ez eθ M er ez ey O ex x H ez y y ex ey O θ H x x Doc. 1. Coordonnées cartésiennes (x , y , z) : —➞ ➞ ➞ ➞ OM = x e x + y e y + z e

I – Vibration de la molécule d’HCl On étudie les mouvements relatifs des atomes d’hydrogène et de chlore de la molécule de HCl dans le référentiel du centre de masse R* de cette molécule. 1 - Etablir l’équation du mouvement radial (suivant la coordonnée r, distance entre les atomes H et Cl) de cette molécule à partir de deux intégrales premières. On introduira l’énergie potentielle effective Ep,ef = Ep + L2/(2μr2) , Ep étant l’énergie potentielle d’interaction, L le moment cinétique et μ la masse

aux coordonnées cylindriques du point D b- Après avoir rappelé comment on trouve leur direction et leur sens, représenter sur le schéma les trois vecteurs unitaires de la base (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) 3) Faire un schéma représentant les coordonnées sphériques (r,θ,φ) d’un point M. 4) Donner les coordonnées cartésiennes (x,y,z), cylindriques (ρ,θ,z) puis sphériques (r,θ,φ) des points A et B suivants : 5) a- Rappeler l’expression des vecteurs position et vitesse d’un point repéré par ses coordonnées cartésiennes

SOMMAIRE CHAPITRE 1 : - Système de coordonnées. - Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel). CHAPITRE 2 : Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel. CHAPITRE 3 : Travail et énergie. CHAPITRE 4 : Les mouvements à force centrale. CHAPITRE 5 : Vibrations simples : Systèmes à un degré de liberté. CHAPITRE 6 : Chocs de deux particules. CHAPITRE 1 : A) SYSTEMES DE COORDONNEES Selon la nature de la trajectoire d’une particule