Coordonnées cylindriques

aux coordonnées cylindriques du point D b- Après avoir rappelé comment on trouve leur direction et leur sens, représenter sur le schéma les trois vecteurs unitaires de la base (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) 3) Faire un schéma représentant les coordonnées sphériques (r,θ,φ) d’un point M. 4) Donner les coordonnées cartésiennes (x,y,z), cylindriques (ρ,θ,z) puis sphériques (r,θ,φ) des points A et B suivants : 5) a- Rappeler l’expression des vecteurs position et vitesse d’un point repéré par ses coordonnées cartésiennes

Changement de référentiel RAPPEL DE COURS ◗ SYSTÈMES USUELS DE COORDONNÉES • Coordonnées cartésiennes • Coordonnées cylindriques —➞ —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ OM = r e➞r + z e➞z ; base (e➞r , e➞q , e➞z ) (doc. 2). OM = x e x + y e y + z e z ; base (e x , e y , e z ) (doc. 1). y z eθ z r M ez z θ er x ez eθ M er ez ey O ex x H ez y y ex ey O θ H x x Doc. 1. Coordonnées cartésiennes (x , y , z) : —➞ ➞ ➞ ➞ OM = x e x + y e

SOMMAIRE CHAPITRE 1 : - Système de coordonnées. - Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel). CHAPITRE 2 : Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel. CHAPITRE 3 : Travail et énergie. CHAPITRE 4 : Les mouvements à force centrale. CHAPITRE 5 : Vibrations simples : Systèmes à un degré de liberté. CHAPITRE 6 : Chocs de deux particules. CHAPITRE 1 : A) SYSTEMES DE COORDONNEES Selon la nature de la trajectoire d’une particule

dont l'équation en coordonnées polaires ( r,) est : r = (a/2) ( 1 + cos ) où a désigne une longueur donnée. 1.Exprimer, en fonction de l'angle polaire , l'abscisse curviligne s du mobile, comptée à partir du point A qui correspond à    = 0. Pour quel angle polaire a-t-on s = a? 2.En déduire le périmètre P de la trajectoire. On considère pour les questions suivantes que l'angle varie avec le temps selon la loi horaire : (t) = t avec  = Cte. 3.Exprimer les coordonnées paramétriques cartésiennes

ci-dessus pour les dérivées sont applicables aux différentielles à condition de remplacer les « d(·)/dt » par des « d(·) ». I.. Systèmes de coordonnées Plaçons-nous dans l’espace usuel à trois dimensions et choisissons un point O et une base orthonormée directe B = (ux , u y , uz ). I..1. Coordonnées cartésiennes (Oz) uz M ux uy Les coordonnées cartésiennes d’un point M dans le repère orthonormé direct (O, ux , u y , uz ) sont les composantes du vecteur po−→ − sition OM = x ux + y u

principaux types de coordonnées Trois types de coordonnées sont définis dans un système géodésique : - les coordonnées cartésiennes géocentriques ; - les coordonnées géographiques sur une surface de référence ; - les coordonnées en représentation plane ou projection. Suivant les techniques utilisées, les coordonnées obtenues seront différentes. 2.1. Coordonnées cartésiennes géocentrées - Comment exprimer les coordonnées du point M à la surface de la Terre ? M a les coordonnées cartésiennes géocentriques

rappelons également quelques relations mathématiques utiles : u =0 ∫ u exp ⎛ – ----- ⎞ du = ⎝ 2-⎠ 2 π -- . 2 Laplacien en coordonnées cylindriques d’une fonction scalaire g ( r, θ, z ) : ∂ g 1 ∂g 1 ∂ g ∂ g Δg = -------- + -- ----- + ---- -------- + -------- . - - - 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2 ∂r 2 2 2 Divergence et rotationnel en coordonnées cylindriques, d’un vecteur A = Ar ur + Aθ uθ + A z u z : 1 ∂ ( r Ar ) 1 ∂ Aθ ∂ A z div A = -- ----------------- + -- --------- + --------- . - r ∂θ

l'espace tridimensionnel, est défini de façon analogue comme le rapport de la surface d'une partie d'une sphère sur le rayon au carré. Il s’exprime en stéradian (sr). Cet angle solide est toujours positif et indépendant de la distance r. En coordonnées sphériques, la surface élémentaire à r constant vaut révolution, d’angle au sommet Le demi-espace, engendré par vaut : ∫ ∫ Ainsi, l’angle solide délimité par un cône de ∫ )). , ⁄ radians, correspond donc à un angle solide de ( ). tandis que

.............................................................................................. Théorie de la membrane en coordonnées cartésiennes .......................... Voiles dont la surface moyenne est un paraboloïde ................................ Voiles dont la surface moyenne est un conoïde ....................................... Théorie de la membrane en coordonnées curvilignes............................. Transformation d’un voile par affinité .........................................

sous la modalité de bases de coordonnées d'objets spatiaux, en association avec des bases de données géoréférencées. Le sig présuppose la carte pour la transformer en carte virtuel et permettre la constitution et l'institution du SIG. Pour le sig comme pour le SIG on n'a pas besoin de connaître la cartographie, mais d'avoir des notions de base sur la carto. Savoir, par exemple, qu'est-ce qu'une projection cartographique et qu'est-ce qu'un système de coordonnées, est indispensable pour travailler