Coordonnées cylindriques

qui sort du tuyau doit être égal à ce qui y rentre ! HE-Arc, ingénierie 3 Analyse vectorielle – gradient, rotationnel et divergence 1.4 Lignes de champ 1.4.1 Pour un champ vectoriel à deux dimensions Soit un champ vectoriel donné en coordonnées cartésiennes :  a x ( x , y)   A ( x , y) =   a ( x , y)  y   (11) On appelle lignes de champs l'ensemble des courbes parallèles au champ vectoriel A . On les trouve en résolvant l'équation différentielle : ∂x ∂y = ax ay 1.4

1.6. Changement de variables . . 1.7. Coordonnées polaires . . . . . 2. Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3. Calculs divers 3.1. Aire ou volume de ∆ 3 3.2. Masse . . . . . . . . . 3 3.3. Centre d’inertie . . . 4 3.4. Moments d’inertie . . 4 5 4. Avec Maple 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Description hiérarchisée de ∆ Changement de variables . . Coordonnées cylindriques . . Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . .

le Jacobien qui va jouer le rôle de la dérivée : Rappel : On appelle la matrice jacobienne de la matrice à p lignes et n colonnes : La première colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la première variable , la deuxième colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la deuxième variable et ainsi de suite. Théorème : Soit D. Soit une bijection de classe la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne de Exemple : Calculer au

normée : les vecteurs de bases sont unitaires : → = 1. S’ils sont orthogonaux, la base est dite ore i → − → − 2 → → − − 2 2 2 = U · U = u1 + u2 + u3 . →→ − − ® On a U · V = U V cos(U , V ). → − → − − − − − ® Les coordonnées du vecteur U dans la base (→1 , →2 , →3 ) sont données par u i = U · →i . e e e e → − − ® Soit ∆ une droite orientée de vecteur directeur unitaire →. La composante d’un vecteur U selon la e → − → − − direction ∆ (appelée aussi projection

Connaissances préalables nécessaires Pour pouvoir suivre ce module, l’apprenant (e ) doit posséder les notions suivantes : • • • • • • • • • • • Espace, temps, translation, rotation, référentiels Changement de repères Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques Coordonnées polaires Trajectoire Champs de vecteurs Champs de vitesses Dérivation Intégration. iii. 120 heures Volume horaire Université Virtuelle Africaine  iV. • • • • matériel didactique Accès internet

1- POSITIONNEMENT D'UN POINT OU D'UN SOLIDE 11- Position d'un point • Dans le plan: 2 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées polaires : avec • Dans l'espace: 3 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées cylindriques : avec coordonnées sphériques : avec et 12- Position d'un solide • Dans le plan: 3 paramètres, deux pour préciser la position d'un point particulier du solide et un paramètre de rotation • Dans l'espace: 6 paramètres;

∇ ) b → rr →r →r r r → r r → r r soit grad( a . b) = a ∧ (rot b) + b ∧ ( rot a) + ( b. grad ) a + ( a. grad) b 3. Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées: a. Gradient: →  ∂ U r  ∂ U r  ∂ U r * cartésiennes: grad U =   ex +   ey +   ez  ∂x  ∂y  ∂z  →  ∂ U r 1  ∂ U r  ∂ U r * cylindriques: grad U =   er +   eθ +   ez r ∂θ  ∂r   ∂z  →  ∂U  r 1  ∂ U r 1  ∂ U r * sphériques: grad U =   er +   eθ +   eϕ r  ∂θ  r sin θ  ∂ ϕ  ∂r

donné. • Apprendre à choisir le bon système de coordonnées en fonction du problème étudié. LES PRÉREQUIS • Notions sur l’intégration des vecteurs vitesse et accélération en tenant compte de conditions initiales. LES OUTILS MATHÉMATIQUES • Notions sur l’intégration vues en mathématiques. ESSENTIEL Systèmes usuels de coordonnées • Coordonnées cartésiennes —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ OM = x ex + y ey + z ez ; base (ex , ey , ez ) (doc. 1). • Coordonnées cylindriques —➞ OM = r e➞r + z e➞z ; base (e➞r , e➞q , e➞z

base ( i , j , k ) . La position du point M est caractérisée par ses coordonnées cartésiennes x, y, z. Le vecteur d'équations OM s'écrit alors : OM  x i  y j  z k I.1.2 Repère polaire Dans le but de simplifier les calculs, il est avantageux de tenir compte de la y  symétrie du problème posé. Ainsi dans le e cas par exemple où le point matériel se  déplace sur un cercle il est intéressant er M y d'utiliser les coordonnées polaires. La  r position du point matériel M est alors j θ O  définie

contour. 5 Systèmes de coordonnées FIGURE 1 Coordonnées cartésiennes FIGURE 2 Coordonnées cylindriques 2/4 COMPLEMENT MATHEMATIQUE Formulaire d’analyse vectorielle Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/ FIGURE 3 Coordonnées sphériques 6 Coordonnées cartésiennes grad div rot ∆ Les vecteurs unitaires , et en chaque point, constituent des champs uniformes et ont tous une divergence et un rotationnel nuls. . 7 Coordonnées cylindriques Seule la formule du gradient