Coordonnées cylindriques

la génératrice SA. b. En déduire la mesure, arrondie au degré, de l'angle [pic]);SAO). Ex 3 : Un réservoir d'eau est formé d'un cylindre et d'un cône. 1. Donne, en dm3, le volume exact de la partie cylindrique en fonction de ( 2. Donne, en dm3, le volume exact de la partie conique en fonction de ( 3. Donne le volume exact du réservoir, puis sa valeur arrondie à 1 dm3 près. 4. Ce réservoir peut-il

positive. L’allure de cette spirale est donnée sur la figure 1. a - Placer sur la figure 1, à rendre avec votre copie, les coordonnées polaires ρ et θ du point M. b - Représenter sur la figure les vecteurs de base u ρ , u θ du système de coordonnées polaires attaché au point M ainsi que ceux du système de coordonnées intrinsèques (Serret-Frenet). { } Exprimer les coordonnées cartésiennes des vecteurs u ρ et u θ . On notera u x et u y les vecteurs de base du repère Oxy. 2/ Application L’angle

(v et at) dans des sens opposés ou ( r an r a r at Curviligne r v an ≠ 0 r a accéléré rr a.v = at v > 0 r at r an Curviligne C ili an ≠ 0 r v Retardé R t dé rr a.v = at v < 0 10 4. Coordonnées cartésiennes (‫)اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ‬ (‫)اﻹ ﺪاﺛ ﺎت اﻟﺪ ﻜﺎ ﺗ ﺔ‬ y A chaque instant t, on projette M sur  Ox et  M M y ( t) y Oy. r On étudie alors deux mouvements rectilignes,  Trajectoire r r celui de Mx (abscisse x ‫ )ﻓﺎﺻﻠﺔ‬et celui de My

dans un repère orthonormé O x yz, de vecteurs unitaires ex , e y , ez . 1.1.1 Coordonnées cartésiennes −−→ r = O M = x ex + ye y + zez z z M (x, y, z) Si M se déplace, on a : −−→ −→ d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er

conducteurs). Applications du cours : milieux guidés comme les guides d’onde (les fibres optiques) Antennes 1 Chapitre I : Rappels d’analyse vectorielle I. Les différents opérateurs Rq : on se limitera pour les opérateurs au cas des coordonnées cartésiennes. I.1 Le gradient : Définition : Soit U(x,y,z) une fonction. Sur la distance d ℓ = dx x + dy y + dz z la fonction scalaire varie de U à U + dU avec dU = ∂U ∂U ∂U dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z Par définition dU = gradU • d ℓ avec gradU

peuvent être ignorés. Cinématique z P OP = α x + β y + γ z α, β et γ sont les coordonnées cartésiennes dans la base R y x R Le vecteur OP est défini comme étant le vecteur position du point P dans le repère R. Il z  est insignifiant de parler de position sans référer à un observateur. eθ r(t) P  En coordonnées cylindriques : Z(t) er   OP = r (t )er (θ (t )) + Z (t ) z   er (θ ), eθ (θ ) θ x En coordonnées sphériques   OP = R (t )eR (θ , ϕ ) z y  eθ (θ ),  eϕ (θ , ϕ )

∆F = ∂ F + ∂ F . ∂x2 ∂y 2 b) Exprimer ∂F ∂ρ Exercice 32 En passant en coordonnées polaires, résoudre sur R2 \ {(0, 0)} l'équation aux dérivées partielles ∂f ∂f y −x =0 ∂x ∂y [ 01766 ] Exercice 36 [ 01773 ] (M ) et ∂F ∂θ (M ) en fonction de ∂ F ∂ρ2 2 c) Exprimer ∆F en fonction de , ∂F ∂ρ et ∂F ∂x (M ) 2 ∂ F ∂θ 2 . et ∂F ∂y (M ) Exercice 33 En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctions f : R+ × R → R de classe C 1 solutions de

dans un repère orthonormé O x yz, de vecteurs unitaires ex , e y , ez . 1.1.1 Coordonnées cartésiennes −−→ r = O M = x ex + ye y + zez z z M (x, y, z) Si M se déplace, on a : −−→ −→ d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er

Intensité – Module II.4. Mesure algébrique III. OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES VECTEURS……………………………..10 III.1. Addition vectorielle III.2. Soustraction vectorielle III.3. Relation de Chasles III.4. Produit d’un vecteur par un scalaire IV. SYSTEME DE COORDONNEES CARTESIENNES…………………………………..11 IV.1. Système cartésien orthonormé bidimensionnel IV.2. Système cartésien orthonormé tridimensionnel V. PRODUIT SCALAIRE……………………………………………………………………15 V.1. Définition IV.3. Composantes d’un vecteur V.2. Forme géométrique

point, à la cinématique relative et à celle du corps rigide. Différents thèmes sont développés dans cette partie, comme par exemple la décomposition de vitesse et accélération dans le trièdre de Frenet, ainsi que dans les repères sphériques et cylindriques, les lois fondamentales de la cinématique, les transformations galiléennes de repère, les angles d'Euler, la théorie des grandes et petites rotations, les théorèmes d'Euler et de Chasles. La dynamique newtonienne est articulée sur six chapitres