Coordonnées généralisées

n° Note : /10 Date : /0 /2011 Samedi : trigonométrie Soient A (…..;…..) et B (…..;…..). Donner les coordonnées polaires de A et les coordonnées cartésiennes de B. /2 Donner les mesures principales des angles (…..π)/(…..) et - (…..π)/(…..) . /2 Résoudre les équations

repère d’espace orthonormé (0,i , j, k ) r r r permet de situer un point quelconque M de l’espace à un instant donné par le vecteur position OM xi yj zk r r r = + + , ou encore par ses coordonnées (x, y, z). Les coordonnées dépendent donc du repère choisi, qu’il convient de bien préciser. Ces coordonnées varient au cours du temps quand le point est en mouvement (x(t), y(t), z(t)). Repère temporel : Etudier le mouvement d’un corps nécessite aussi de savoir à quel moment il occupe les différentes

Chapitre 7: Les Asymptotes I. Asymptote verticale Certaines fonctions n'existent qu'à partir d'un certain réel a sans être nécessairement définie en a. Il est alors utile d’étudier la limite de cette fonction quand x se rapproche de cette valeur a. Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] ( 2 ; + ([ , dont la courbe représentative est : La droite D étant parallèle à l’axe des ordonnées on dit alors que D est une asymptote verticale

projections conformes. ✓ Les projections équivalents 2° Les coordonnées Latitude La latitude est une coordonnée géographique représentée par une valeur angulaire, expression de la position d'un point sur Terre, au nord ou au sud de l'équateur qui est le plan de référence. La latitude est une mesure angulaire, elle varie entre la valeur 0° à l'équateur et 90° aux pôles. Longitude La longitude est une coordonnée géographique représentée par une valeur angulaire, expression du

de droite 1) Équation réduite de droite : Soient formule etformuledeux points distincts du plan. (Remarque : ces deux points définissent géométriquement la droite (AB)) Un point M(x;y) appartient à la droite (AB) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la forme : formule avec m,p réels, si formule m est alors appelé coefficient directeur de la droite et peut être calculé par la formule, découverte en activité : formule |

vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r et α 1. Donner les relations liant a, b, r et α . → → 2. v est le vecteur directement orthogonal à u . → a. Donner la définition de v . b. En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r et α. c. En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b. EXERCICE bonus. Lieu de points. Dans un repère orthonormé positif : 1 ; α) pour α ∈ [0 ; π/2] Déterminer l’ensemble des points de coordonnées polaires ( cos(α)

Exercices fonctions logarithmes 1) Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 8] par : f(x) = 2x 4lnx Exercices Log a) Calculer f(1), f(2), f(4), f(6) et f(8) (arrondir les résultats à 0,1 près) f(1) = 2 x 1 – 4 x ln(1) = 2 ; f(2) = 2 x 2 – 4 x ln(2) = 1,2 ; f(4) = 2 x 4 – 4 x ln(4) = 2,5 f(6) = 2 x 6 – 4 x ln(6) = 4,8 ; f(8) = 2 x 8 – 4 x ln(8) = 7,7 b) Déterminer, pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; 8], la fonction dérivée f ’(x). f (x) = 2 – 4 x 4 =0 x 4 f (x) > 0

positive. L’allure de cette spirale est donnée sur la figure 1. a - Placer sur la figure 1, à rendre avec votre copie, les coordonnées polaires ρ et θ du point M. b - Représenter sur la figure les vecteurs de base u ρ , u θ du système de coordonnées polaires attaché au point M ainsi que ceux du système de coordonnées intrinsèques (Serret-Frenet). { } Exprimer les coordonnées cartésiennes des vecteurs u ρ et u θ . On notera u x et u y les vecteurs de base du repère Oxy. 2/ Application L’angle

est sûr, par le calcul que E(2,25 ; 1,5) ∈ . Exercice 12 a) Le point d’intersection de la courbe 2× 0 − 3 = −3. 0+1 Soit A (0 ; –3). L’intersection de avec l’axe des ordonnées a pour abscisse 0 et pour ordonnée f (0 ). Il a donc pour coordonnées (0;f (0 )) . f (0) = et de l’axe des ordonnées est le point A. b) Le point d’intersection de avec l’axe des abscisses a pour ordonnée 0. On 2x − 3 va donc chercher son abscisse x tel que f ( x ) = 0 , soit = 0. x +1 Une fraction est

consommation diminue lorsque le revenu augmente. Cela signifie que la courbe d’Engel est décroissante, ces biens sont appelés inférieurs. * La fonction de demande individuelle du consommateur : la fonction d’utilité permet de déterminer les coordonnées de l’optimum, c’est à dire, permet de connaître els quantités de biens maximisant la satisfaction, sachant que le prix des biens et le revenu sont donnés. La courbe de demande d’un bien indique que la quantité achetée est généralement une fonction