Coordonnées généralisées

Association pour l’animation math´ ematique Institut Henri Poincar´e, 11 rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris cedex 05 Courriel : animath@animath.fr Page web : www.animath.fr Solutions du ´ TEST DE SELECTION du 5 juin 2008 Stage olympique de Gr´esillon 18 – 27 aoˆ ut 2008 Exercice 1. Soient A, B, C, M et N cinq points distincts du plan, v´erifiant AM 2 − AN 2 = BM 2 − BN 2 = CM 2 − CN 2 . Montrer que A, B et C sont align´es. Solution. Il existe de nombreuses mani`eres de r´esoudre ce probl`eme

Activité expérimentale TP2 Chapitre 2 : Relation de conjugaison des lentilles minces VÉRIFICATION de la RELATION de CONJUGAISON des LENTILLES MINCES INTRODUCTION Les rayons lumineux qui traversent une lentille mince suivent des trajectoires prévisibles. On a déjà dét ermi négraphi quementl aposi t i ond’ unei mage.Es sayonsd’ obt enir le même résultat par le calcul. Dansunpréci sdephysi quede1 91 2,ont rouvel ’ i l l ust r at i onci -dessous : 1) Dans le commentaire, que signifient « véritables

Les 2 premiers paramètres de la fonction ellipse indique les coordonnées du centre de l'ellipse. Les deux derniers sont le grand axe et le petite axe de l'ellipse. Tester le programme et modifier les paramètres des fonctions fill et ellipse. b) Tracer un rectangle en complétant la procédure principale par les instructions : fill(255,0,0) ; rect(100, 100, 60, 30) ; Les 2 premiers paramètres de la fonction rect indique les coordonnées de la position du rectangle (coin supérieur gauche). Les deux derniers

repéré par un couple de réel [pic] tels que [pic] et [pic] On dit que [pic] est le rayon polaire et le réel [pic] est un angle polaire. Les coordonnées du point polaire se notent entre crochets : [pic] On considère un point [pic] de coordonnées polaires [pic] Les coordonnées cartésiennes de [pic] sont [pic] et [pic] Si un point [pic] a pour coordonnées cartésiennes [pic] alors[pic] Pour avoir un angle polaire, on utilise [pic] et [pic]

Bille dans un bol Une petite bille de masse m = 20 g supposée ponctuelle peut glisser sans frottement dans un bol de rayon R = 8,0 cm. Sa trajectoire, lorsqu’elle est en contact avec la cuvette est un arc de cercle situé dans un plan vertical. L’ axe vertical Oz est orienté vers le haut ; l’origine O de l’axe est situé en haut du bol. Son ordonnée est nulle z(0) = 0 m. La position de la bille est assimilée à un point M qui se déplace dans le plan vertical. Son ordonnée est notée ‘z’. L’angle

∆F = ∂ F + ∂ F . ∂x2 ∂y 2 b) Exprimer ∂F ∂ρ Exercice 32 En passant en coordonnées polaires, résoudre sur R2 \ {(0, 0)} l'équation aux dérivées partielles ∂f ∂f y −x =0 ∂x ∂y [ 01766 ] Exercice 36 [ 01773 ] (M ) et ∂F ∂θ (M ) en fonction de ∂ F ∂ρ2 2 c) Exprimer ∆F en fonction de , ∂F ∂ρ et ∂F ∂x (M ) 2 ∂ F ∂θ 2 . et ∂F ∂y (M ) Exercice 33 En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctions f : R+ × R → R de classe C 1 solutions de

1- POSITIONNEMENT D'UN POINT OU D'UN SOLIDE 11- Position d'un point • Dans le plan: 2 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées polaires : avec • Dans l'espace: 3 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées cylindriques : avec coordonnées sphériques : avec et 12- Position d'un solide • Dans le plan: 3 paramètres, deux pour préciser la position d'un point particulier du solide et un paramètre de rotation • Dans l'espace: 6 paramètres;

que l’on admettra : sur l’intervalle ] − 1, 1[, la fonction fn,m est de classe C 2 et est solution de l’équation différentielle (E) m2 (1 − x )y − 2x y + n(n + 1) − 1 − x2 2 Ç å y=0. Troisième partie On désigne par x1 , x2 , x3 les coordonnées canoniques de R3 . Par définition une fonction polynomiale (ou polynôme) homogène sur R3 de degré N , où N ∈ N, est une combinaison linéaire à coefficients réels de monômes (x1 )i1 (x2 )i2 (x3 )i3 , où i1 , i2 , i3 ∈ N et i1 + i2 + i3 = N . On convient

d’un cône renversé fixe de sommet r O et d’axe (O, ez ) . On assimile cette particule à un point matériel M, de masse m. r r r z On utilise un système de coordonnées cylindriques ρ, ϕ, z et le repère local orthonormé correspondant r r r Rl ( M , eρ , eφ , ez ) (figure 1), de sorte que : uuuu r r r OM = ρ eρ + zez Les coordonnées de tout point M ∈ (S) satisfont la relation ρ = α z quelque soit φ, (α constante positive, z > 0) . La particule est soumise exclusivement à deux forces : son poids

.............................................................................................. Théorie de la membrane en coordonnées cartésiennes .......................... Voiles dont la surface moyenne est un paraboloïde ................................ Voiles dont la surface moyenne est un conoïde ....................................... Théorie de la membrane en coordonnées curvilignes............................. Transformation d’un voile par affinité .........................................