Coordonnées sphériques

1. Les formes de la Terre Les formes de la Terre s'étudient au travers de la géodésie La géodésie est la science des formes et dimensions de la Terre et de son champ de pesanteur. 1.1. La géodésie (cf cours 1&2) - L'hypothèse d'une terre sphérique remonte à l'antiquité. C'est le savant grec Ératosthène vers 240 avant JC qui a fait la première mesure du rayon de la Terre. Précision de l'ordre de 99% Des cosmographes arabes reprendront cette mesure au IXème siècle. fig. 1 - La mesure du

est définie) et l'espace articulaire (dans laquelle la configuration du robot est définie). Ce qui suit est distingué:  La modélisation géométrique direct et inverse donnant l'emplacement de l'organe terminal (ou l'outil) par rapport aux coordonnées des articulations du mécanisme et vice versa,  La modélisation cinématique direct et inverse donnant la vitesse de l'organe terminal en fonction des vitesses articulaires et vice versa,  La modélisation dynamique donnant les relations

dans un repère orthonormé O x yz, de vecteurs unitaires ex , e y , ez . 1.1.1 Coordonnées cartésiennes −−→ r = O M = x ex + ye y + zez z z M (x, y, z) Si M se déplace, on a : −−→ −→ d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er

Chimie de l’Environnement (campus CNRS) courriel ddwit@cnrs-orleans.fr ! site web http://lpce.cnrs-orleans.fr/~ddwit/gps/ 4 Le GPS permet de réaliser un vieux rêve : se repérer exactement dans le temps et dans l’espace Coordonnées géographiques Les coordonnées géographiques d'un point M de la surface de la Terre sont" La longitude ! : angle orienté entre le plan méridien origine et le plan méridien contenant le point M. Le méridien d’origine est celui de Greenwich. La latitude " :

autre surface. c) Les parallèles et les méridiens se coupent en angle droit. Ils servent à donner des coordonnées géographiques. d) Coordonnées géographiques de Paris : Coordonnées géographiques de Nice : 43° 39’ 56’’ N7° 12’ 53’’ E| 43.665559,7.2146 39’ 56’’ Nord 7° 12’ Coordonnées géographiques de Strasbourg : 1.48° 35’ 05’’ N7° 45’ 02’’ E| 48.584760,7.75057648 35’ Les coordonnées géographiques Les Méridiens et les parallèles.

positive. L’allure de cette spirale est donnée sur la figure 1. a - Placer sur la figure 1, à rendre avec votre copie, les coordonnées polaires ρ et θ du point M. b - Représenter sur la figure les vecteurs de base u ρ , u θ du système de coordonnées polaires attaché au point M ainsi que ceux du système de coordonnées intrinsèques (Serret-Frenet). { } Exprimer les coordonnées cartésiennes des vecteurs u ρ et u θ . On notera u x et u y les vecteurs de base du repère Oxy. 2/ Application L’angle

(v et at) dans des sens opposés ou ( r an r a r at Curviligne r v an ≠ 0 r a accéléré rr a.v = at v > 0 r at r an Curviligne C ili an ≠ 0 r v Retardé R t dé rr a.v = at v < 0 10 4. Coordonnées cartésiennes (‫)اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ‬ (‫)اﻹ ﺪاﺛ ﺎت اﻟﺪ ﻜﺎ ﺗ ﺔ‬ y A chaque instant t, on projette M sur  Ox et  M M y ( t) y Oy. r On étudie alors deux mouvements rectilignes,  Trajectoire r r celui de Mx (abscisse x ‫ )ﻓﺎﺻﻠﺔ‬et celui de My

I – Vibration de la molécule d’HCl On étudie les mouvements relatifs des atomes d’hydrogène et de chlore de la molécule de HCl dans le référentiel du centre de masse R* de cette molécule. 1 - Etablir l’équation du mouvement radial (suivant la coordonnée r, distance entre les atomes H et Cl) de cette molécule à partir de deux intégrales premières. On introduira l’énergie potentielle effective Ep,ef = Ep + L2/(2μr2) , Ep étant l’énergie potentielle d’interaction, L le moment cinétique et μ la masse

être ignorés. Cinématique z P OP = α x + β y + γ z α, β et γ sont les coordonnées cartésiennes dans la base R y x R Le vecteur OP est défini comme étant le vecteur position du point P dans le repère R. Il z  est insignifiant de parler de position sans référer à un observateur. eθ r(t) P  En coordonnées cylindriques : Z(t) er   OP = r (t )er (θ (t )) + Z (t ) z   er (θ ), eθ (θ ) θ x En coordonnées sphériques   OP = R (t )eR (θ , ϕ ) z y  eθ (θ ),  eϕ (θ , ϕ ) ϕ P

cinématique du point, à la cinématique relative et à celle du corps rigide. Différents thèmes sont développés dans cette partie, comme par exemple la décomposition de vitesse et accélération dans le trièdre de Frenet, ainsi que dans les repères sphériques et cylindriques, les lois fondamentales de la cinématique, les transformations galiléennes de repère, les angles d'Euler, la théorie des grandes et petites rotations, les théorèmes d'Euler et de Chasles. La dynamique newtonienne est articulée sur