Courbe de Peano

Th´or`me et d´finition – On suppose que la m´thode est d’ordre N ≥ 0. Si e e e e f est de classe C N +1 sur [α, β], alors β 1 N! E(f ) = KN (t)f (N +1) (t)dt, α e e a e o` KN est une fonction sur [α, β], appel´e noyau de Peano associ´ ` la m´thode, u d´finie par e KN (t) = E x → (x − t)N , t ∈ [α, β]. + D´monstration. On observe d’abord que f → E(f ) est une forme lin´aire sur e e C([α, β]). Si g : (x, t) → g(x, t) est une fonction int´grable sur [α, β] × I, le th´or`me

2.6 Méthode d'intégration de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.7 * Noyau de Péano 40 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Rappel : développement de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7.2 Calcul de l'erreur avec le noyau de Péano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

diff´rentiel e e e x = x2 − y 2 ˙ y = ˙ 2xy en posant z = x + iy. Lorsque l’application f n’est plus localement k-lipschitzienne en x, il peut ne pas y avoir unicit´ des solutions. En revanche, il y a toujours existence (th´or`me e e e de Cauchy–Peano–Arzela, [D], p. 127). Exemples 1. (1) Les fonctions t → 0 et t → t|t| sont solutions de la mˆme ´quation e e diff´rentielle x = 2 |x| et prennent la mˆme valeur en 0. e ˙ e 3 (2) Les fonctions t → 0 et t → t sont solutions de la mˆme ´quation diff´rentielle

sont utilis´s pour repr´senter des ensembles ainsi e e que leurs ´l´ments. Les ´l´ments y figurent comme des points ou des petites croix, entour´s ee ee e par une courbe ferm´e qui forme l’ensemble. Dans le cas o` l’ensemble contient un trop grand e u nombre d’´l´ments, seul l’ensemble est repr´sent´, par la partie du plan int´rieure ` la courbe. ee e e e a On dit que A est une partie de B, on ´crit A ⊂ B et on prononce « A est inclus dans B » e pour dire que tout ´l´ment de A appartient ` B ; en termes

symboles dŽcrit par Dedekind et Peano, que se fonde l'ArithmŽtique: elle se fonde sur le 'bon-ordre' dans le quel nous rangeons, dans nos t•tes, les nombres (un ensemble est 'bien-ordonnŽ' si et seulement si il est totalement ordonnŽ et ne contient pas de cha”nes 5 descendantes: il rŽalise alors l'induction formelle3). S.D. discute sur plusieurs pages la variŽtŽ de nos reprŽsentations mentales, en fait spatiales, des nombres entiers: lignes droites, lignes courbes, de gauche ˆ droite, pour nous

répartition du revenu national (Keynes, p. 262)". Les variables indépendantes sont les paramètres psycho-sociologiques qui caractérisent chaque nation économique. "Nos variables indépendantes sont, en première analyse, la propension à consommer, la courbe de l'efficacité marginale et le taux de l'intérêt (Keynes, p. 262)". En résultent l'emploi et le revenu. "Nos variables dépendantes sont le volume de l'emploi et le revenu national (ou dividende national) mesuré en unités de salaires (Keynes, p. 262)"

dessiner : la lettre H majuscule en relief de la figure 1.12 (page 9) ; le cube en perspective, le cristal à huit branches et la paire de lunettes de la figure 9.2 (page 107) ; l’hélicoptère et le train de voyageurs de la figure 1.13 (page 10) ; les courbes ‘spirolatérales’ de la figure 9.3 (page 107), obtenues en faisant avancer le Robot une fois puis deux fois puis trois fois, etc., en tournant à chaque fois d’un quart de tour à droite et en répétant le tout quatre fois de suite ([28]) ; l’arabesque

par exemple exercice “Fonctions d’utilité et de production”). On peut alors montrer que le gradient de f au point (x0 , y0 ) est orthogonal à la courbe de niveau f (x0 , y0 ) de f et orienté vers les valeurs croissantes de f . Voir figure 1.16. y ∇f (a) a x f (x, y) = k1 f (x, y) = k f (x, y) = k0 Fig. 1.16 – Gradient de f au point a et courbes de niveau k0 < k < k1 . Variables multiples Arnaud Guyader - Rennes 2 20 Chapitre 1. Fonctions de plusieurs variables Tout comme dans

application, not´e f −1 : y ∈ F → x ∈ E, et e e et seulement si x = f −1 (y). y Cf appel´e application r´ciproque de f qui est bijective, et on a l’´quivalence y = f (x) si e e e y = x Remarque : Si la fonction f est num´rique, e les courbes Cf et Cf −1 ont les allures cicontre. Elles sont sym´triques par rapport e x Cf −1 x′ o ` la premi`re bissectrice d’´quation y = x. a e e Donc : 1 e e `r c sse bi ce t ri y′ (x, y) ∈ Cf ⇐⇒ (y, x) ∈ Cf −1 . 11 Analyse

et s la surjection canonique de E sur E/Rf . – Partitionner E = i∈I ωi où (ωi )i∈I est la famille canoniquement associée à E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble