Covariance

. . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Processus `a moyenne ajust´ee d’ordre q . 4.5.4 Processus autor´egressif d’ordre p . . . . El´ements d’estimation . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Estimation de la moyenne . . . . . . . . 4.6.2 Estimation des covariances . . . . . . . 4.6.3 Estimation de la d.s.p. . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et la 2 1 variable aléatoire Z, indicatrice de l’événement (X > ). 2 a) Préciser la relation liant Y et Z puis établir sans calcul que le coefficient de corrélation linéaire de Y et Z, noté ρ (Y , Z), est égal à –1. b) En déduire la valeur de la covariance de Y et Z. b) En déduire que X a une variance et que V(X) = Exercice 3 Soit f la fonction définie pour tout couple (x, y) de IR 2 par : f (x, y) = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 x y – x – y. 1) a) Calculer les dérivées partielles premières de f. 1 1 b)

utilisées. Avantage: Pas d‟hypothèse sur la forme de la distribution des rendements Convient à tous les types d‟instruments, y compris optionnels  Incovenients: Pas d‟assurance de la pertinence de l‟historique choisi . L’approche variance-covariance analytique: Portefeuille sur plusieurs positions Se mesure en fonction des facteurs de risque de chacune des positions Integration de la corrélation ρ         La simulation de Monte Carlo On choisit une distribution pour le rendement

matricielle, Yt = A0 + A1 Y t¡1 + ::: + Ap Yt¡ p + "t ; avec 2 Yt1 Yt2 . . . Y tk 3 2 a1 1i a1 2i . . . a1 ki a2 1i a2 2i . . . a2 ki ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ak 1i ak 2i . . . ak ki 3 2 a0 1 a0 2 . . . a0 k 3 2 "1 t "2 t . . . "k t 3 (6) La matrice de covariance des erreurs § = E ("0 " t) est ici inconnue. De la même façon que dans le cas univariarié, t on pourra noter A (L) Yt = A0 + "t ; 14 6 6 Yt = 6 4 7 6 7 6 7 Ai = 6 5 4 7 6 7 6 7 A0 = 6 5 4 7 6 7 6 7 et "t = 6 5 4 7 7 7: 5 Séries

exprimée par le coefficient de variation qui est le rapport de l’écart-type et de la moyenne. C’est un nombre sans dimension ; il s’exprime sous forme de pourcentage et permet de comparer des observations différentes. 41 11. Covariance Pour calculer la covariance, on peut : - utiliser la définition Cov (X,Y) = E [(X-E (X))(Y-E (Y))] la propriété Cov (X,Y) = E (XY)-E (X) E (Y) - utiliser la relation V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2Cov (X,Y) ou encore V (X-Y) = V (X) + V (Y)-2Cov (X,Y) - si X et

L’utilisation d’une fonction objectif moyenne-variance est cohérente avec un investisseur qui maximise son utilité espérée (qui est fonction de la richesse). iii) La variance d’un portefeuille est fonction de la variance des titres et des couples de covariances. iv) Les investisseurs sont concernés par l’ensemble des portefeuilles efficients. v) Un programme quadratique peut être utilisé pour compléter l’ensemble des portefeuilles efficients. Ainsi selon Markowitz, les investisseurs ne choisissent pas

l’actif sans risque rf et de celle du portefeuille de marché RM, qui est celui que tous les investisseurs possèdent : E(Ri) = rf + i[E(RM) − rf ] avec i = cov(Ri,RM) 2(RM) avec (.) la volatilité de l’actif correspondant et cov(.,.) la fonction covariance. Pour des raisons pédagogiques, nous n’entrons pas dans la démonstration de ce modèle mais expliquons les conséquences empiriques et pratiques de cette modélisation de la prime de risque. Nous pouvons aussi réécrire ce modèle de la manière suivante

L'estimateur augmenté est donc toujours plus précis que l'estimateur initial si on l'augmente d'une statistique exhaustive. Dans le cas multiparamétrique où l'estimateur et le paramètre sont de dimension supérieure 1, on considère la matrice de variance-covariance. L'erreur quadratique du nouvel estimateur est toujours plus faible que celui de l'ancien estimateur et ce quelle que soit la norme utilisée. Même si les différentes composantes ne sont pas normées de la même façon l'estimateur augmenté est toujours

et les risques financiers p q 8. Mesures de risque • • • La variance L’écart-type Loi normale • • • La variance L écart-type L’écart type Loi normale Chapitre 2: Le return et les risques financiers p q 8. Mesures de risque • • • • La covariance Le coefficient de corrélation L utilisation L’utilisation des données ex post pour prévoir le futur Mesures ex-ante du risque: l’approche des scénarios 

6.2.1 L’interpr´tation du seuil de confiance α . . . . . . . . . . . e 6.2.2 Une explication du facteur multiplicatif (3 + ξ) . . . . . . . 6.2.3 Le choix de la distribution de probabilit´ . . . . . . . . . . e 6.2.4 L’estimation de la matrice de covariance . . . . . . . . . . . 6.2.4.1 Un exercice de backtesting . . . . . . . . . . . . . 6.2.4.2 Les approches conditionnelles de l’estimation de la 6.2.5 Le probl`me du scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.2.5.1 Quelques ´l´ments th´oriques